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Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

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Zusammenfassung

Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.



Kombinationsformeln

Die Formeln der Kombination werden verwendet, wenn:

  1. man nicht alle Elemente verwendet, sondern eine Auswahl trifft, und
  2. die Reihenfolge nicht beachtet, in der man die Elemente wählt oder anordnet.

n: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elementen:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente​​

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung


Hinweis: Bei «Ohne Wiederholung» dürfen sich die Elemente nicht wiederholen. Bei «Mit Wiederholung» dürfen sie sich wiederholen.


Beispiel 1 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Man zieht fünf Kugeln, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen der Kugeln kann man ziehen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

(nk)\binom{n}{k}​​

n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogener Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=5​​

(105)=10!5!(105)!=252\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}​​


Beispiel 2 - mit Wiederholung:

In einer Urne sind beliebig viele schwarze und grüne Kugeln. Man zieht fünf Kugeln.

Wie viele mögliche Kombinationen der Kugeln kann man ziehen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

(n+k1k)\binom{n+k-1}{k}​​

n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogener Kugeln=5n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=5​​

(2+515)=6!5!(65)!=6\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}​​



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