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Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Wichtige Additionstheoreme kennen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

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Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Erklärvideo

Lehrperson: Georg
Lehrperson: Georg

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Wie man Vektoren mit Zahlen beschreibt:


2-Dimensional

3-Dimensional

​a→=(axay)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)a=(ax​ay​​)

  • ​axa_xax​​ die xxx​-Komponente
  • ​aya_yay​​ die yyy​-Komponente

​a→=(axayaz)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)a=​ax​ay​az​​​​​


  • axa_xax​​ die xxx​-Komponente
  • ​aya_yay​​ die yyy​-Komponente
  • ​aza_zaz​​ die zzz​-Komponente
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D



Länge

Berechnungen der Länge eines Vektors: 

2-Dimensional

3-Dimensional

​∣a→∣=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​a​=ax2​+ay2​​​​
​∣a→∣=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​a​=ax2​+ay2​+az2​​​​

Spezielle Vektoren

​Nullvektor 0→\overrightarrow{0}0​​
​0→=(000)\overrightarrow{0} = \left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)0=​000​​​​

​Gegenvektor
von v→=(vxvyvz)\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)v=​vx​vy​vz​​​ ist Gegenvektor: −v→=(−vx−vy−vz)-\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\\\end{matrix}\right)−v=​−vx​−vy​−vz​​​​​

Einheitsvektor
Jeder Vektor mit der Länge «1». Einheitsvektor von v→\overrightarrow{v}v​:
 ve→=1∣v→∣(vxvyvz)\overrightarrow{v_e}=\frac{1}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)ve​​=​v​1​​vx​vy​vz​​​​​


Linearkombination 

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von den Basisvektoren (Vektoren der Koordinatenachsen) darstellen:


2D:
​​v→ =(vxvy)=vx(10)+vy(01)=vxe1→+vye2→\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}v =(vx​vy​​)=vx​(10​)+vy​(01​)=vx​e1​​+vy​e2​​​​​

3D:
​v→ =(vxvyvz)=vx(100)+vy(010)+vz(001)=vxe1→+vye2→+vze3→\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}\right)+v_z\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}+v_z\overrightarrow{e_3}v =​vx​vy​vz​​​=vx​​100​​+vy​​010​​+vz​​001​​=vx​e1​​+vy​e2​​+vz​e3​​​



Punkte und Vektoren

Ortsvektor

Jeder Punkt P im Koordinatensystem mit einem Ortsvektor beschreiben.
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt. Man schreibt 0P→\overrightarrow{0P}0P​.
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel

Ortsvektor von P(3∣1∣5)P\left(3|1|5\right)P(3∣1∣5)​​

​0P→=(315)−(000)=(315)\overrightarrow{0P}=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)0P=​315​​−​000​​=​315​​​​


Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor AB→\overrightarrow{AB}AB​ zeigt vom Punkt AAA​ zum Punkt BBB​. Er gibt für jede Koordinate die Entfernung an.

Berechnung:
​AB→=0B→−0A→=(bx−axby−aybz−az)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)AB=0B−0A=​bx​−ax​by​−ay​bz​−az​​​​​
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel 

Verbindungsvektor von A(3∣1∣5)A\left(3|1|5\right)A(3∣1∣5)​ nach B(2∣4∣2)B(2|4|2)B(2∣4∣2)​

​AB→=0B→−0A→=(2−34−12−5)=(−13−3)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}2-3\\4-1\\2-5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\\-3\\\end{matrix}\right)AB=0B−0A=​2−34−12−5​​=​−13−3​​​​




Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Koordinatensystem in 2D und 3D

Teil 1

Koordinatensystem in 2D und 3D

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Teil 2

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Teil 3

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

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Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 4

Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Komponenten hat der Nullvektor?

Der Nullvektor ist ein Vektor, bei dem alle Komponenten 0 sind.

Welche Komponenten hat der Gegenvektor?

Der Gegenvektor ist ein Vektor, bei dem alle Komponenten ein umgekehrtes Vorzeichen haben.

Welche Komponenten hat der Einehitsvektor?

Der Einheitsvektor ist jeder Vektor mit der Länge "1".

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