Komponentendarstellung in 2D und 3D

Wie man Vektoren mit Zahlen beschreibt:

2-Dimensional

3-Dimensional

\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)

$a_x$ die $x$ -Komponente
$a_y$ die $y$ -Komponente

$\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)$

$a_x$ die $x$ -Komponente
$a_y$ die $y$ -Komponente
$a_z$ die $z$ -Komponente

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D

Länge

Berechnungen der Länge eines Vektors:

2-Dimensional	3-Dimensional
$\left\|\overrightarrow{a}\right\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$	$\left\|\overrightarrow{a}\right\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

Spezielle Vektoren

Nullvektor $\overrightarrow{0}$	$\overrightarrow{0} = \left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)$
Gegenvektor	von $\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)$ ist Gegenvektor: $-\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\\\end{matrix}\right)$
Einheitsvektor	Jeder Vektor mit der Länge «1». Einheitsvektor von $\overrightarrow{v}$ : $\overrightarrow{v_e}=\frac{1}{\left\|\overrightarrow{v}\right\|} \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)$

Linearkombination

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von den Basisvektoren (Vektoren der Koordinatenachsen) darstellen:

2D:	$\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}$
3D:	$\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}\right)+v_z\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}+v_z\overrightarrow{e_3}$

Punkte und Vektoren

Ortsvektor

Jeder Punkt P im Koordinatensystem mit einem Ortsvektor beschreiben.
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt. Man schreibt

\overrightarrow{0P}

.

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D

In 2D und 3D gültig.

Beispiel

Ortsvektor von $P\left(3|1|5\right)$

$\overrightarrow{0P}=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)$

Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor

\overrightarrow{AB}

zeigt vom Punkt

A

zum Punkt

B

. Er gibt für jede Koordinate die Entfernung an.

Berechnung:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D

In 2D und 3D gültig.

Beispiel

Verbindungsvektor von $A\left(3|1|5\right)$ nach $B(2|4|2)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}2-3\\4-1\\2-5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\\-3\\\end{matrix}\right)$