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Vektorgeometrie

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Lehrperson: Georg

Zusammenfassung

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Wie man Vektoren mit Zahlen beschreibt:


2-Dimensional

3-Dimensional

a=(axay)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)

  • axa_x​ die xx​-Komponente
  • aya_y​ die yy​-Komponente

a=(axayaz)\overrightarrow{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)​​


  • axa_x​ die xx​-Komponente
  • aya_y​ die yy​-Komponente
  • aza_z​ die zz​-Komponente
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D



Länge

Berechnungen der Länge eines Vektors: 

2-Dimensional

3-Dimensional

a=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​​
a=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​​

Spezielle Vektoren

​Nullvektor 0\overrightarrow{0}​​

0=(000)\overrightarrow{0} = \left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)​​

​Gegenvektor

von v=(vxvyvz)\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right) ist Gegenvektor: v=(vxvyvz)-\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\\\end{matrix}\right)​​

Einheitsvektor

Jeder Vektor mit der Länge «1». Einheitsvektor von v\overrightarrow{v}​:
 ve=1v(vxvyvz)\overrightarrow{v_e}=\frac{1}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right)​​


Linearkombination 

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von den Basisvektoren (Vektoren der Koordinatenachsen) darstellen:


2D:

v =(vxvy)=vx(10)+vy(01)=vxe1+vye2\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}

3D:

v =(vxvyvz)=vx(100)+vy(010)+vz(001)=vxe1+vye2+vze3\overrightarrow{v}\ = \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\\\end{matrix}\right) = v_x \left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right) +v_y\left(\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}\right)+v_z\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)=v_x\overrightarrow{e_1}+v_y\overrightarrow{e_2}+v_z\overrightarrow{e_3}



Punkte und Vektoren

Ortsvektor

Jeder Punkt P im Koordinatensystem mit einem Ortsvektor beschreiben.
Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt. Man schreibt 0P\overrightarrow{0P}​.
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel

Ortsvektor von P(315)P\left(3|1|5\right)​​

0P=(315)(000)=(315)\overrightarrow{0P}=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\5\\\end{matrix}\right)​​


Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor AB\overrightarrow{AB}​ zeigt vom Punkt AA​ zum Punkt BB​. Er gibt für jede Koordinate die Entfernung an.

Berechnung:
AB=0B0A=(bxaxbyaybzaz)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)​​

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Komponentendarstellung in 2D und 3D
In 2D und 3D gültig.


Beispiel 

Verbindungsvektor von A(315)A\left(3|1|5\right)​ nach B(242)B(2|4|2)

AB=0B0A=(234125)=(133)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{matrix}2-3\\4-1\\2-5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\\-3\\\end{matrix}\right)​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Komponenten hat der Nullvektor?

Welche Komponenten hat der Gegenvektor?

Welche Komponenten hat der Einehitsvektor?

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