Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Eine Ebene kann man als Parametergleichung oder als Koordinatengleichung beschreiben.

Parametergleichung

$E:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$

Mathematik; Vektorgeometrie; Passerelle; Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

$\vec{p}$	«Stützvektor»: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.
$\vec{u},\vec{v}$	«Richtungsvektoren»: Beliebige, linear unabhängige Vektoren, die die Ebene aufspannen.
$s,t$	«Streckfaktoren»: Verlängern oder verkürzen die beiden Richtungsvektoren beliebig.

Bedeutung

Mit Veränderung der Streckfaktoren s und t kann man jeden Punkt auf der Ebene beschreiben.

Mathematik; Vektorgeometrie; Passerelle; Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Hinweis: Man kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.

Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $\vec{p}$ sein.

Jeder Vektor parallel zur Ebene kann Richtungsvektor $\vec{u}$ und $\vec{u}$ sein.

Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge zu erhalten, indem man alle durch die gleiche Zahl teilt.

Koordinatengleichung

$E:\ \ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d$

Wobei: $\vec{n}=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}\right), \vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)$ und $d=\vec{n}\cdot\vec{p}$

Ausmultipliziert: $E:\ \ \ \ ax+by+cz=d$

Mathematik; Vektorgeometrie; Passerelle; Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

$\vec{n}$	Normalenvektor
$d$	Relation der Ebene zum Ursprung. Der Wert d ergibt sich aus dem Skalarprodukt von $\vec{n}$ und einem beliebigen Ortsvektor eines Punktes P auf der Ebene: $d=\vec{n}\cdot\vec{p}$

Hinweis 1: Wenn $\vec{n}$ die Länge 1 hat, dann ist d der Abstand zum Ursprung. Ist $d=0$ so geht die Ebene durch den Ursprung.

Hinweis 2: Man kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.

Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $\vec{p}$ sein.

Jeder Vektor senkrecht zur Ebene kann Normalenvektor $\vec{n}$ sein.

Den Normalenvektor darf man somit wie ein Richtungsvektor verkürzen, um möglichst kleine Einträge zu erhalten.

Mittelnormalebene

DEFINITION

Die Ebene liegt in der Mitte von zwei Punkten A und B. Jeder Punkt in der Ebene hat den gleichen Abstand zu A und B.

EIGENSCHAFTEN

Senkrecht zur Strecke AB. ( $\vec{n}=\vec{AB}$ )

Stützpunkt: Mittelpunkt von AB. ( $\vec{p}=\vec{0A}+\frac{1}{2}\vec{AB}$ )

Gleichungen aufstellen

Parametergleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

1.

Verbindungsvektoren $\ \vec{AB}\$ und $\vec{AC}$ berechnen.

2.

Parametergleichung aufstellen:

Richtungsvektoren: $\vec{u}=\vec{AB}\$ und $\vec{v}=\vec{AC}$
Stützvektor: $\vec{p}=\vec{0A}$

Beispiel

Gegeben: $A(3|4|1),\ B(2|1|-1)\$ und $\ C(2|3|2)$ .

Verbindungsvektoren

\vec{AB}=\left(\begin{matrix}-1\\-3\\-2\\\end{matrix}\right)\underbrace{→}_{gekürzt}\left(\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right)

\vec{AC}=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right)

Parametergleichung:

$E:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\4\\1\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$

Koordinatengleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

1.	Verbindungsvektoren $\ \vec{AB}\$ und $\vec{AC}$ berechnen.
2.	Normalenvektor $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$ und $d=\vec{n}\cdot\vec{p}$ berechnen, wobei $\vec{p}$ einer der Ortsvektoren von A, B oder C ist.
3.	Koordinatengleichung aufstellen.

Beispiel

Gegeben: $A(3|4|1),\ B(2|1|-1)$ und $\ C(2|3|2)$ .

Verbindungsvektoren:

$\vec{AB}=\left(\begin{matrix}-1\\-3\\-2\\\end{matrix}\right)$

$\vec{AC}=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right)$

Normalenvektor:

$\vec{n}=\left(\begin{matrix}-1\\-3\\-2\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\\-2\\\end{matrix}\right)$

Koordinatengleichung:

$d=\vec{n}\cdot\vec{0A}=\left(\begin{matrix}-5\\3\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}3\\4\\1\\\end{matrix}\right)=-15+12-2=\ -5$

$E:\ \ \ -5x+3y-2z=-5$

Koordinatengleichung anhand von einem Punkt und dem Normalenvektor aufstellen

Punkt P auf der Ebene und ein Vektor senkrecht zur Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

1.

d berechnen. $d=\vec{n}\cdot\vec{0P}$

$\vec{n}$ ist der Vektor senkrecht zur Ebene.

2.

Koordinatengleichung aufstellen.

Beispiel

Gegeben: $\ \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\3\\-1\\\end{matrix}\right),\ P(1|4|2)$

Koordinatengleichung:

$d=\left(\begin{matrix}2\\3\\-1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\4\\2\\\end{matrix}\right)=2+12-2=12$

Koordinatengleichung:

$E:\ \ \ \ 2x+3y-z=12$

Gleichungstyp umwandeln

Parametergleichung in Koordinatengleichung umwandeln

VORGEHEN

1.	Normalenvektor berechnen: $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$
2.	$d=\vec{n}\cdot\vec{p}$ berechnen.
3.	Koordinatengleichung aufstellen.

Beispiel

Gegeben: $g:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}-1\\4\\2\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}4\\1\\-1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}3\\0\\2\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$

Normalenvektor:

$\vec{n}=\left(\begin{matrix}4\\1\\-1\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}3\\0\\2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\\-3\\\end{matrix}\right)$

Koordinatengleichung:

$d=\left(\begin{matrix}2\\-11\\-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1\\4\\2\\\end{matrix}\right)=-2-44-6=-52\\\\E:\ \ \ \ 2x-11y-3z=-52$

Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln

VORGEHEN

1.	Bestimme drei beliebige Punkte auf der Ebene: Wähle zwei Koordinaten frei und berechne den Dritten.
2.	Bestimme die Parametergleichung mithilfe der drei Punkte. (Vorgehen wie oben)

Beispiel

Gegeben: $E:\ \ \ \ 2x-y+4z=4$

Punkte bestimmen:

Gewählt:

Punkt

x=0,\ y=0 \rightarrow z=1\\y=0,\ z=0 \rightarrow x=2\\x=0,\ z=0 \rightarrow y=4

$A\left(0|0|1\right)\\B\left(2|0|0\right)\\C\left(0|4|0\right)$

Stützvektor und Verbindungsvektoren:

$\vec{p}=\vec{0P}=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)$

$\vec{u}=\vec{AB}=\left(\begin{matrix}2\\0\\-1\\\end{matrix}\right)$

$\vec{v}=\vec{AC}=\left(\begin{matrix}0\\4\\-1\\\end{matrix}\right)$

Parametergleichung:

$E:\ \vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}2\\0\\-1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}0\\4\\-1\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$