Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Eine Ebene kann man als Parametergleichung oder als Koordinatengleichung beschreiben.

Parametergleichung

​$$E:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​

​

Bedeutung

Mit Veränderung der Streckfaktoren s und t kann man jeden Punkt auf der Ebene beschreiben.

Hinweis: Man kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.

Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $$\vec{p}$$​ sein.

Jeder Vektor parallel zur Ebene kann Richtungsvektor $$\vec{u}$$​ und $$\vec{u}$$​ sein.

Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge zu erhalten, indem man alle durch die gleiche Zahl teilt.

Koordinatengleichung

​$$E:\ \ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d$$​​ Wobei: $$\vec{n}=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}\right), \vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)$$ und $$d=\vec{n}\cdot\vec{p}$$​​ Ausmultipliziert: $$E:\ \ \ \ ax+by+cz=d$$​

Hinweis 1: Wenn $$\vec{n}$$ die Länge 1 hat, dann ist d der Abstand zum Ursprung. Ist $$d=0$$ so geht die Ebene durch den Ursprung.

Hinweis 2: Man kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Ebene haben.

Jeder Punkt auf der Ebene kann Stützvektor $$\vec{p}$$ sein.

Jeder Vektor senkrecht zur Ebene kann Normalenvektor $$\vec{n}$$ sein.

Den Normalenvektor darf man somit wie ein Richtungsvektor verkürzen, um möglichst kleine Einträge zu erhalten.

Mittelnormalebene

DEFINITION

Die Ebene liegt in der Mitte von zwei Punkten A und B. Jeder Punkt in der Ebene hat den gleichen Abstand zu A und B.

EIGENSCHAFTEN

Senkrecht zur Strecke AB. ($$\vec{n}=\vec{AB}$$​)

Stützpunkt: Mittelpunkt von AB. ($$\vec{p}=\vec{0A}+\frac{1}{2}\vec{AB}$$​)

Gleichungen aufstellen

Parametergleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$A(3|4|1),\ B(2|1|-1)\$$​und $$\ C(2|3|2)$$​.

Verbindungsvektoren

Parametergleichung:

​$$E:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\4\\1\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​

Koordinatengleichung anhand von 3 Punkten aufstellen

Drei beliebige Punkt A, B und C auf der Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$A(3|4|1),\ B(2|1|-1)$$​ und $$\ C(2|3|2)$$​.

Verbindungsvektoren:

Normalenvektor:

$$\vec{n}=\left(\begin{matrix}-1\\-3\\-2\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}-1\\-1\\1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\\-2\\\end{matrix}\right)$$​​

Koordinatengleichung:

$$d=\vec{n}\cdot\vec{0A}=\left(\begin{matrix}-5\\3\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}3\\4\\1\\\end{matrix}\right)=-15+12-2=\ -5$$​​

$$E:\ \ \ -5x+3y-2z=-5$$​​

Koordinatengleichung anhand von einem Punkt und dem Normalenvektor aufstellen

Punkt P auf der Ebene und ein Vektor senkrecht zur Ebene sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$\ \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\3\\-1\\\end{matrix}\right),\ P(1|4|2)$$​

Koordinatengleichung:

$$d=\left(\begin{matrix}2\\3\\-1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\4\\2\\\end{matrix}\right)=2+12-2=12$$​​

Koordinatengleichung:

$$E:\ \ \ \ 2x+3y-z=12$$​​

Gleichungstyp umwandeln

Parametergleichung in Koordinatengleichung umwandeln

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$g:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}-1\\4\\2\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}4\\1\\-1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}3\\0\\2\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​

Normalenvektor:

$$\vec{n}=\left(\begin{matrix}4\\1\\-1\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}3\\0\\2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\\-3\\\end{matrix}\right)$$​​

Koordinatengleichung:

$$d=\left(\begin{matrix}2\\-11\\-3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1\\4\\2\\\end{matrix}\right)=-2-44-6=-52\\\\E:\ \ \ \ 2x-11y-3z=-52$$​​

Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$E:\ \ \ \ 2x-y+4z=4$$​

Punkte bestimmen:

Stützvektor und Verbindungsvektoren:

Parametergleichung:

$$E:\ \vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}2\\0\\-1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}0\\4\\-1\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s,t\in\mathbb{R}$$​​