Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Definition

Die Wahrscheinlichkeit (abgekürzt $P$ , engl.: probability) ist der Grad der Möglichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintrifft. Je grösser die Wahrscheinlichkeit, desto öfter wird das Ereignis bei Wiederholung des Experiments auftreten.

Beispiel:

In einer Klasse sind 15 Schüler: 5 Jungen und 10 Mädchen. Wenn nun ein Schüler zufällig zur Stundenwiederholung vom Lehrer ausgewählt wird, ist es wahrscheinlicher, dass ein Mädchen oder ein Junge gewählt wird?

Da doppelt so viele Mädchen wie Jungen in der Klasse sind, ist die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu ziehen doppelt so gross. Also ist .

$P(\text{Mädchen})=2 \cdot P(\text{Junge})$

Typische Begriffe

Definitionen

Begriffe		Beispiele
Zufallsexperiment	Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei welchem der Ausgang zufällig ist.	Der Wurf einer Münze.
Ergebnismenge	Die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.	Ergebnismenge beim Münzwurf: Kopf, Zahl
Einstufiges Zufallsexperiment	Ein Zufallsexperiment wird einmal durchgeführt.	Man wirft eine Münze einmal.
Mehrstufiges Zufallsexperiment	Mehrere Zufallsexperimente werden gleichzeitig oder hintereinander durchgeführt.	Man wirft eine Münze fünfmal.
Absolute Häufigkeit	Versuchsanalyse: Anzahl, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt.	Dreimal Kopf geworfen. Abs. H.: 3
Relative Häufigkeit	Versuchsanalyse: Anteil, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt.	Bei fünfmaligem Werfen dreimal Kopf geworfen. Rel. H.: $\frac{3}{5}=0{,}6=60 \%$
Wahrscheinlichkeit $P(X_i)$	Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt.	Wahrscheinlichkeit, dass bei einem (nichtgezinkten) Münzwurf Kopf eintritt: $P(\text{Kopf})=50 \%$
"gleichverteilte" Wahrscheinlichkeit	Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreten.	Nichtgezinkte Münze. Nichtgezinkter Würfel.
"nicht gleichverteilte" Wahrscheinlichkeit	Die Ergebnisse der Ergebnismenge haben nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreten.	Gezinkte Münze. Gezinkter Würfel.

Anmerkung: Eine nichtgezinkte Münze oder ein nichtgezinkter Würfel wird oft auch als eine ideale Münze oder ein idealer Würfel bezeichnet.

Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten (für Ereignis $X_i$ ):

$P(X_i)$ kann man als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentzahl darstellen.
$P(X_i)$ als Bruch oder Dezimalzahl ist zwischen 0 und 1.
$P(X_i)$ als Prozentzahl ist zwischen 0 % und 100 %.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Ergebnismenge ist 1 (100 %).
Für ein Ergebnis, welches nie eintreffen kann, ist die Wahrscheinlichkeit 0.