Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Definition

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann.

Hinweis: Man sagt «k aus n» oder «n tief k» oder «n über k».

Formel

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

Beispiel

$\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{3!9!}=220$

Eigenschaften

Folgenden Formeln sind beim Umformen des Binomialkoeffizienten oftmals hilfreich:

$\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$

Hinweis: Wenn " $k>n$ ist der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}=0$ . Wenn es nur „ $n$ kann man nicht mehr als „ $n$ aus der Menge auswählen.

Anwendungsbeispiel

Binomischer Lehrsatz

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes.

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome von ${(x+y)}^n$ zu bestimmen.

${(x+y)}^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k$

Beispiel - erste binomische Formel

${(x+y)}^2=\binom{2}{0}\cdot x^2{\cdot y}^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2$