Konto erstellen Anmelden
Evulpo Logo

Jetzt vom Jahresabo profitieren!

Spare 45 %

CHF 15 / Monat

CHF 8.25 / Monat

Kapitelübersicht

Mathematik

Analysis

Differentialrechnung

Kurvendiskussion

Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Gerade

Ebene

Kreise und Kugeln

Stochastik

Kombinatorik

Wahrscheinlichkeit

Statistik

Verteilungen

Folgen und Reihen

Folgen

Reihen

Matrizen

Grundlagen

Mathematik

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Dein Fortschritt in der Lektion
 
 
0%

Zusammenfassung

Download

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Definition

Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k}​ ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. 


Hinweis: Man sagt «k aus n» oder «n tief k» oder «n über k».



Formel

Der Binomialkoeffizient  (nk)\binom{n}{k}​:

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}​​


Beispiel

(123)=12!3!(12−3)!=12!3!9!=220\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{3!9!}=220​​


Eigenschaften

Folgenden Formeln sind beim Umformen des Binomialkoeffizienten oftmals hilfreich:

(n0)=1=(nn)(n1)=n=(nn−1)(nk)=n−k+1k(nk−1)(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}​​


Hinweis: Wenn "k>nk>n ist der Binomialkoeffizient (nk)=0\binom{n}{k}=0. Wenn es nur „nn kann man nicht mehr als „nn aus der Menge auswählen.​



Anwendungsbeispiel

Binomischer Lehrsatz

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes.

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome von (x+y)n{(x+y)}^n​ zu bestimmen.


(x+y)n=(n0)⋅xn+(n1)⋅xn−1⋅y1+…+(nn−1)⋅x1⋅yn−1+(nn)⋅yn=∑k=0n(nk)⋅xn−k⋅yk{(x+y)}^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k​​


Beispiel - erste binomische Formel

(x+y)2=(20)⋅x2⋅y0+(21)⋅x1⋅y1+(22)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2{(x+y)}^2=\binom{2}{0}\cdot x^2{\cdot y}^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2​​



                       

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Zur Lektion

Fakultät: Definition und Formel

Zur Lektion
Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

  • Frage: Was ist der Binomialkoeffizient?

    Antwort: Der Binomialkoeffizient ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung cerwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man "k" Elemente aus einer Menge von "n" verschiedenen Objekten auswählen kann.

  • Frage: Was ist der binomischer Lehrstz?

    Antwort: Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes. Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome von (x+y)^n zu bestimmen.

Theorie

Übungen

© 2020 – 2023 evulpo AG