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Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Definition

Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k}(kn​)​ ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. 


Hinweis: Man sagt «k aus n» oder «n tief k» oder «n über k».



Formel

Der Binomialkoeffizient  (nk)\binom{n}{k}(kn​)​:

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​​​


Beispiel

(123)=12!3!(12−3)!=12!3!9!=220\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{3!9!}=220(312​)=3!(12−3)!12!​=3!9!12!​=220​​


Eigenschaften

Folgenden Formeln sind beim Umformen des Binomialkoeffizienten oftmals hilfreich:

(n0)=1=(nn)(n1)=n=(nn−1)(nk)=n−k+1k(nk−1)(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}\\\binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}\\\binom{n}{k}=\frac{n-k+1}{k}\binom{n}{k-1}\\\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}(0n​)=1=(nn​)(1n​)=n=(n−1n​)(kn​)=kn−k+1​(k−1n​)(k+1n+1​)=(kn​)+(k+1n​)​​


Hinweis: Wenn "k>nk>nk>n ist der Binomialkoeffizient (nk)=0\binom{n}{k}=0(kn​)=0. Wenn es nur „nnn kann man nicht mehr als „nnn aus der Menge auswählen.​



Anwendungsbeispiel

Binomischer Lehrsatz

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes.

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome von (x+y)n{(x+y)}^n(x+y)n​ zu bestimmen.


(x+y)n=(n0)⋅xn+(n1)⋅xn−1⋅y1+…+(nn−1)⋅x1⋅yn−1+(nn)⋅yn=∑k=0n(nk)⋅xn−k⋅yk{(x+y)}^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\cdot y^1+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot x^1\cdot y^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k(x+y)n=(0n​)⋅xn+(1n​)⋅xn−1⋅y1+…+(n−1n​)⋅x1⋅yn−1+(nn​)⋅yn=k=0∑n​(kn​)⋅xn−k⋅yk​​


Beispiel - erste binomische Formel

(x+y)2=(20)⋅x2⋅y0+(21)⋅x1⋅y1+(22)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2{(x+y)}^2=\binom{2}{0}\cdot x^2{\cdot y}^0+\binom{2}{1}\cdot x^1\cdot y^1+\binom{2}{2}\cdot x^0\cdot y^2=x^2+2xy+y^2(x+y)2=(02​)⋅x2⋅y0+(12​)⋅x1⋅y1+(22​)⋅x0⋅y2=x2+2xy+y2​​



                       

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient ist eine Formel, welche vor allem in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung cerwendet wird. Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man "k" Elemente aus einer Menge von "n" verschiedenen Objekten auswählen kann.

Was ist der binomischer Lehrstz?

Der Binomialkoeffizient hilft bei der Berechnung des binomischen Lehrsatzes. Der binomische Lehrsatz ermöglicht es, die Potenzen der Binome von (x+y)^n zu bestimmen.

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