Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Das heisst es gibt unendlich viele Ereignismöglichkeiten. Die Normalverteilung ist spiegelsymmetrisch um ihren Erwartungswert.
Man definiert eine Normalverteilung auf Basis von zwei Werten: (1) vom Mittelwert μ einer Verteilung und (2) von der Standardabweichung σ der Verteilung.
X∼N(μ,σ)
Funktionen
Dichtefunktion
Die Normalverteilung kann mit der allgemeinen Dichtefunktion beschrieben werden.
f(x)=2πσ1e−21(σx−μ)2
x
Zufallsgrösse
μ
Mittelwert der Verteilung
σ
Standardabweichung der Verteilung
e
Eulersche Zahl
Hinweis 1: Bei Aufgaben sind μ und σ typischerweise vorgegeben.
Hinweis 2:Man rechnet meist mit einem Taschenrechner oder entnimmt die Werte einer Tabelle.
Darstellung
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion (ϕ(x)) ist durch die Fläche unter der Dichtefunktion (f(x)) gegeben. Sie gibt für einen beliebigen Wert x die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable X kleiner oder gleich x ist.
ϕ(X≤x)=2πσ1∫−∞xe−21(σt−μ)2dt
X
Zufallsgrösse
x
Wert, den die Zufallsgrösse annimmt
μ
Mittelwert der Verteilung
σ
Standardabweichung der Verteilung
t
Integrationsvariable
Hinweis:Man berechnet die Verteilungsfunktion typischerweise mit dem Taschenrechner oder entnimmt die Werte einer Tabelle.
Intervall
Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von X:
P(a≤X≤b)=ϕ(X≤b)−ϕ(X≤a)
Darstellung
Einseitig
Zweiseitig (Intervall)
P(X≤x)
P(a≤X≤b)
Beispiel
Nehmen wir an, das Gewicht (in Gramm) von Äpfeln sei normalverteilt mit μ=75,σ=15.
200 Äpfel werden untersucht. Wie viele Äpfel haben ein Gewicht zwischen 60 und 80 g?
Die Normalverteilung ist eien stetige Verteilung. Es gibt unendliche viele Ereignismöglichkeiten. Man definiert eine NOrmalverteilung auf Basis von zwei Werten: (1) vom Mittelwert einer Verteilung und (2) von der Standardabweichung der Verteilung.
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