Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften Definition Eine quadratische Matrix A A A hat eine inverse Matrix, auch Inverse genannt, falls eine Matrix A − 1 A^{-1} A − 1 existiert. In dem Fall gilt:
A ⋅ A − 1 = E n A\cdot A^{-1}=E_n A ⋅ A − 1 = E n
E n E_n E n n x n nxn n x n
Beispiel - Multiplikation der Matrix A A A und ihrer Inversen
A = ( 1 3 1 4 ) , A − 1 = ( 4 − 3 − 1 1 ) A=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right),\ A^{-1}=\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right) A = ( 1 1 3 4 ) , A − 1 = ( 4 − 1 − 3 1 )
Beweise, dass A − 1 A^{-1} A − 1 die Inverse von A ist:
A ⋅ A − 1 = ( 1 3 1 4 ) ⋅ ( 4 − 3 − 1 1 ) A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right) A ⋅ A − 1 = ( 1 1 3 4 ) ⋅ ( 4 − 1 − 3 1 )
Multipliziere:
( 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 1 4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 ) = ( 1 0 0 1 ) ⏟ E i n h e i t s m a t r i x = E n \left(\begin{matrix}1\cdot4-3\cdot1&4\cdot3-3\cdot4\\-1\cdot1+1\cdot1&-1\cdot3+1\cdot4\\\end{matrix}\right)=\underbrace{\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)}_{Einheitsmatrix}=E_n ( 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 ) = E inh e i t s ma t r i x ( 1 0 0 1 ) = E n
Hinweis 1: Nicht jede quadratische Matrix hat eine Inverse.
Hinweis 2: Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist: d e t A ≠ 0 det{A}\neq0 d e t A = 0
Eigenschaften von inversen Matrizen
A ⋅ A − 1 = A − 1 ⋅ A = E n {A\cdot A}^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n A ⋅ A − 1 = A − 1 ⋅ A = E n
Es spielt keine Rolle, ob die Inverse mit der ursprünglichen Matrix oder die ursprüngliche Matrix mit der Inversen multipliziert wird: Das Ergebnis ist in beiden Fällen die Einheitsmatrix.
( A − 1 ) − 1 = A {{(A}^{-1})}^{-1}=A ( A − 1 ) − 1 = A
Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix.
E n − 1 = E n {E_n}^{-1}=E_n E n − 1 = E n
Die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.
( r A ) − 1 = r − 1 ⋅ A − 1 {(rA)}^{-1}={r^{-1}\cdot A}^{-1} ( r A ) − 1 = r − 1 ⋅ A − 1
Die Inverse einer Matrix, welche mit einem Koeffizienten multipliziert wurde, entspricht der Inversen der Matrix multipliziert mit dem Kehrwert des Koeffizienten.
( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {{(A}^T)}^{-1}={{(A}^{-1})}^T ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T
Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der transponierten Matrix der Inversen.
d e t ( A − 1 ) = d e t ( A ) − 1 det(A^{-1})={det(A)}^{-1} d e t ( A − 1 ) = d e t ( A ) − 1
Die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante der ursprünglichen Matrix.
Berechnung von inversen Matrizen 2-dimensionale Matrix FORMEL A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) A = ( a 11 a 21 a 12 a 22 )
A − 1 = 1 det ( A ) ( a 22 − a 12 − a 21 a 11 ) A^{-1}=\frac{1}{\det{\left(A\right)}}\left(\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\\\end{matrix}\right) A − 1 = det ( A ) 1 ( a 22 − a 21 − a 12 a 11 )
Beispiel - Inverse der 2 x 2 2x2 2 x 2 Matrix A A A berechnen
A = ( 5 3 3 2 ) A=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right) A = ( 5 3 3 2 )
Berechne die Determinate:
d e t ( A ) = 10 − 9 = 1 det{\left(A\right)}=10-9=1 d e t ( A ) = 10 − 9 = 1
Berechne die Inverse:
A − 1 = 1 1 ( 2 − 3 − 3 5 ) = ( 2 − 3 − 3 5 ) A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right) A − 1 = 1 1 ( 2 − 3 − 3 5 ) = ( 2 − 3 − 3 5 )
Überprüfen:
A ⋅ A − 1 = ( 5 3 3 2 ) ⋅ ( 2 − 3 − 3 5 ) = ( 10 − 9 − 15 + 15 6 − 6 − 9 + 10 ) = ( 1 0 0 1 ) A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10-9&-15+15\\6-6&-9+10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right) A ⋅ A − 1 = ( 5 3 3 2 ) ⋅ ( 2 − 3 − 3 5 ) = ( 10 − 9 6 − 6 − 15 + 15 − 9 + 10 ) = ( 1 0 0 1 )
3-dimensionale Matrix Folgende Formel dient zur Berechnung der Inverse einer 3 x 3 3x3 3 x 3 Matrix. In der Schule wird sie jedoch eher selten verwendet.
FORMEL A = ( a b c d e f g h i ) A=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{matrix}\right) A = a d g b e h c f i
A − 1 = 1 det ( A ) ⋅ ( e i − f h c h − b i b f − c e f g − d i a i − c g c d − a f d h − e g b g − a h a e − b d ) A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\left(\begin{matrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{matrix}\right) A − 1 = det ( A ) 1 ⋅ e i − f h f g − d i d h − e g c h − bi ai − c g b g − ah b f − ce c d − a f a e − b d
Beispiel - Inverse der 3 x 3 3x3 3 x 3 Matrix A A A berechnen
A = ( 1 3 2 − 1 0 2 1 5 0 ) A=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right) A = 1 − 1 1 3 0 5 2 2 0
Berechne die Determinante:
d e t ( A ) = 1 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 5 − 2 ⋅ 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 = 6 − 10 − 10 = − 14 det{\left(A\right)}=1\cdot0\cdot0+3\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-1\right)\cdot5-2\cdot0\cdot1-1\cdot2\cdot5-3\cdot\left(-1\right)\cdot0=6-10-10=-14 d e t ( A ) = 1 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 5 − 2 ⋅ 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 = 6 − 10 − 10 = − 14
Berechne die Inverse:
A − 1 = ( 1 3 2 − 1 0 2 1 5 4 ) − 1 = 1 − 14 ( − 10 10 6 2 − 2 − 4 − 5 − 2 3 ) = ( 5 7 − 5 7 − 6 14 − 1 7 1 7 2 7 5 14 1 7 − 3 14 ) = A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&4\\\end{matrix}\right)^{-1}=\frac{1}{-14}\left(\begin{matrix}-10&10&6\\2&-2&-4\\-5&-2&3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-6}{14}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)= A − 1 = 1 − 1 1 3 0 5 2 2 4 − 1 = − 14 1 − 10 2 − 5 10 − 2 − 2 6 − 4 3 = 7 5 7 − 1 14 5 7 − 5 7 1 7 1 14 − 6 7 2 14 − 3 =
Überprüfe:
A ⋅ A − 1 = ( 1 3 2 − 1 0 2 1 5 0 ) ⋅ ( 5 7 − 5 7 − 3 7 − 1 7 1 7 2 7 5 14 1 7 − 3 14 ) = ( 5 7 − 3 7 + 10 14 − 5 7 + 3 7 + 2 7 − 3 7 + 6 7 − 3 7 − 5 7 + 0 + 5 7 5 7 + 0 + 2 7 3 7 + 0 − 3 7 5 7 − 5 7 + 0 − 5 7 + 5 7 + 0 − 3 7 + 10 7 + 0 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-3}{7}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}-\frac{3}{7}+\frac{10}{14}&\frac{-5}{7}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}&\frac{-3}{7}+\frac{6}{7}-\frac{3}{7}\\\frac{-5}{7}+0+\frac{5}{7}&\frac{5}{7}+0+\frac{2}{7}&\frac{3}{7}+0-\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}-\frac{5}{7}+0&\frac{-5}{7}+\frac{5}{7}+0&\frac{-3}{7}+\frac{10}{7}+0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right) A ⋅ A − 1 = 1 − 1 1 3 0 5 2 2 0 ⋅ 7 5 7 − 1 14 5 7 − 5 7 1 7 1 7 − 3 7 2 14 − 3 = 7 5 − 7 3 + 14 10 7 − 5 + 0 + 7 5 7 5 − 7 5 + 0 7 − 5 + 7 3 + 7 2 7 5 + 0 + 7 2 7 − 5 + 7 5 + 0 7 − 3 + 7 6 − 7 3 7 3 + 0 − 7 3 7 − 3 + 7 10 + 0 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
