Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Definition

Eine quadratische Matrix $A$ hat eine inverse Matrix, auch Inverse genannt, falls eine Matrix $A^{-1}$ existiert. In dem Fall gilt:

$A\cdot A^{-1}=E_n$

$E_n$ ist dabei die Einheitsmatrix der Dimension $nxn$ .

Beispiel - Multiplikation der Matrix $A$ und ihrer Inversen

$A=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right),\ A^{-1}=\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$

Beweise, dass $A^{-1}$ die Inverse von A ist:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$

Multipliziere:

$\left(\begin{matrix}1\cdot4-3\cdot1&4\cdot3-3\cdot4\\-1\cdot1+1\cdot1&-1\cdot3+1\cdot4\\\end{matrix}\right)=\underbrace{\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)}_{Einheitsmatrix}=E_n$

Hinweis 1: Nicht jede quadratische Matrix hat eine Inverse.

Hinweis 2: Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist: $det{A}\neq0$

Eigenschaften von inversen Matrizen

${A\cdot A}^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n$	Es spielt keine Rolle, ob die Inverse mit der ursprünglichen Matrix oder die ursprüngliche Matrix mit der Inversen multipliziert wird: Das Ergebnis ist in beiden Fällen die Einheitsmatrix.
${{(A}^{-1})}^{-1}=A$	Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die ursprüngliche Matrix.
${E_n}^{-1}=E_n$	Die Inverse der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.
${(rA)}^{-1}={r^{-1}\cdot A}^{-1}$	Die Inverse einer Matrix, welche mit einem Koeffizienten multipliziert wurde, entspricht der Inversen der Matrix multipliziert mit dem Kehrwert des Koeffizienten.
${{(A}^T)}^{-1}={{(A}^{-1})}^T$	Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der transponierten Matrix der Inversen.
$det(A^{-1})={det(A)}^{-1}$	Die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Berechnung von inversen Matrizen

2-dimensionale Matrix

FORMEL

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{\det{\left(A\right)}}\left(\begin{matrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\\\end{matrix}\right)$

Beispiel - Inverse der $2x2$  Matrix $A$  berechnen

$A=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)$

Berechne die Determinate:

$det{\left(A\right)}=10-9=1$

Berechne die Inverse:

$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)$

Überprüfen:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10-9&-15+15\\6-6&-9+10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

3-dimensionale Matrix

Folgende Formel dient zur Berechnung der Inverse einer $3x3$ Matrix. In der Schule wird sie jedoch eher selten verwendet.

FORMEL

$A=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{matrix}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\left(\begin{matrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{matrix}\right)$

Beispiel - Inverse der $3x3$  Matrix $A$  berechnen

$A=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)$

Berechne die Determinante:

$det{\left(A\right)}=1\cdot0\cdot0+3\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-1\right)\cdot5-2\cdot0\cdot1-1\cdot2\cdot5-3\cdot\left(-1\right)\cdot0=6-10-10=-14$

Berechne die Inverse:

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&4\\\end{matrix}\right)^{-1}=\frac{1}{-14}\left(\begin{matrix}-10&10&6\\2&-2&-4\\-5&-2&3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-6}{14}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=$

Überprüfe:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\-1&0&2\\1&5&0\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{-5}{7}&\frac{-3}{7}\\\frac{-1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{1}{7}&\frac{-3}{14}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}-\frac{3}{7}+\frac{10}{14}&\frac{-5}{7}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}&\frac{-3}{7}+\frac{6}{7}-\frac{3}{7}\\\frac{-5}{7}+0+\frac{5}{7}&\frac{5}{7}+0+\frac{2}{7}&\frac{3}{7}+0-\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}-\frac{5}{7}+0&\frac{-5}{7}+\frac{5}{7}+0&\frac{-3}{7}+\frac{10}{7}+0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$