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Vektorgeometrie

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Lehrperson: Georg

Zusammenfassung

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechenregeln 

Für das Rechnen mit Vektoren gelten folgende Regeln:   


Regel
2D
3D
Addition
a+b=(axay)+(bxby)=(ax+bxay+by)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right) \\&= \left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
a+b=(axayaz)+(bxbybz)=(ax+bxay+byaz+bz)\begin{aligned}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
Subtraktion
ab=(axay)(bxby)=(axbxayby)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\\end{matrix}\right)​​
ab=(axayaz)(bxbybz)=(axbxaybyazbz)\begin {aligned}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right) \\ &=\left(\begin{matrix}a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z\\\end{matrix}\right)\end {aligned}​​
Vektor-vielfaches
ra=r(axay)=(raxray)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_x\\r\cdot a_y\\\end{matrix}\right)​​
ra=r(axayaz)=(raxrayraz)r\cdot\overrightarrow{a}=r\cdot\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}{r\cdot a}_x\\r\cdot a_y\\r\cdot a_z\\\end{matrix}\right)​​
Betrag (Länge)
a=ax2+ay2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}​​
a=ax2+ay2+az2\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}​​
Streckenlänge von AB\overrightarrow{AB}​​
AB\left|\overrightarrow{AB}\right|​​
(bxax)2+(byay)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2}​​
(bxax)2+(byay)2+(bzaz)2\sqrt{{(b_x-a_x)}^2+{(b_y-a_y)}^2+{(b_z-a_z)}^2}​​
Streckenmittelpunkt MM​von AB\overrightarrow{AB}:
0M\overrightarrow{0M}​​

OM=OA+12AB=(axay)+12(bxaxbyay)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​
OM=OA+12AB=(axayaz)+12(bxaxbyaybzaz)\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \\&=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}{b_x-a}_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)\end{aligned}​​


Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Wie subtrahiere ich zwei Vektoren voneinander?

Wie addiere ich zwei Vektoren?

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