Home

Mathematik

Vektorgeometrie

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Grundlagen

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen als Boxenanordnung

Lineare Gleichungen mit Parametern

Bruchgleichung ohne Variable im Nenner

Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Satzaufgaben mit Anteilen

Lineare Gleichung als Boxanordnung

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichung Einführung

Direkte Berechnung quadratischer Gleichungen

Faktorzerlegung einer quadratischen Gleichung

Gleichung lösen mit quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Gleichungen: Textaufgaben

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Potenzen

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Potenzterme vereinfachen: Rechenregeln

Exponentialgleichungen lösen

Wurzel berechnen

Wurzelterme vereinfachen: Rechenregeln

Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

Rechnen mit absoluten & relativen Grössen

Logarithmus

Logarithmusterme: Rechenregeln & Beispiele

Logarithmusgleichungen lösen

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Ungleichungen

Lineare Ungleichung

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Quadratische Ungleichungen lösen

Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

Lineare Funktionen

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Schnittpunkt von linearen Funktionen bestimmen

Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch

Lineare Optimierung

Lineare Optimierung berechnen

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Umkehrfunktion: Definition & Beispiele

Funktionen

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Folgen und Reihen

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Finanzmathematik

Zinseszinses & unterjährige Verzinsung: Definition & Formeln

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Tilgungsrechnung: Definition & Formeln

Preisbildung lineare Funktionen

Stochastik und Statistik

Grundlagen der Datenanalyse

Diagramme und Verteilungen

Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Boxplot: Definition & Kennwerte

Kombinatorik: Definition & Formeln

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Wichtige Additionstheoreme kennen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Matrizen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Definition

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren einer spezifischen Zahl zu. Diese Zahl benötigt man für die Berechnung des Winkels zwischen den Vektoren.

Berechnung

Komponentenweise multiplizieren und dann die Summe bilden:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

Winkelformel

Winkel zwischen zwei Vektoren :

cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}

\alpha=\cos^{-1}{\left(\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)}

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren sind senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn das Ergebnis des Skalarprodukts Null ist:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Rechenregeln

Assoziativgesetz	$(r\cdot\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=r\cdot\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)$	Reihenfolge der Berechnung ist egal.
Kommutativgesetz	$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$	Reihenfolge der Berechnung ist egal.
Distributivgesetz	$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$	Klammer entsprechend auflösen.

Betrag eines Vektors

Den Betrag eines Vektors kann man als Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst betrachten:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 2

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Teil 3

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Teil 4

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 5

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Abkürzung

Optional

Teil 6