Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Definition

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren einer spezifischen Zahl zu. Diese Zahl benötigt man für die Berechnung des Winkels zwischen den Vektoren.

Berechnung

Komponentenweise multiplizieren und dann die Summe bilden:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{matrix}\right)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

Winkelformel

Winkel zwischen zwei Vektoren :

cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}

\alpha=\cos^{-1}{\left(\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right)}

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren sind senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn das Ergebnis des Skalarprodukts Null ist:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Rechenregeln

Assoziativgesetz	$(r\cdot\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=r\cdot\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)$	Reihenfolge der Berechnung ist egal.
Kommutativgesetz	$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$	Reihenfolge der Berechnung ist egal.
Distributivgesetz	$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$	Klammer entsprechend auflösen.

Betrag eines Vektors

Den Betrag eines Vektors kann man als Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst betrachten:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$