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Rotationsvolumen: Definition und Formel

Definition 

Rotiert man einen Graphen um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper.


Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Rotationsvolumen: Definition und Formel


Formel 

Das Volumen des Rotationskörpers lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

​V=π⋅∫ab(f(x))2dxV=\pi\cdot \int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)\right)^2dx}V=π⋅∫ab​(f(x))2dx​​


Hinweis: Mit π⋅r2\pi\cdot r^2π⋅r2 berechnet man eine Kreisfläche. Vergleiche diese Formel mit der des Rotationskörpers.



Beispiel 

Berechne das Volumen des Rotationskörpers unter der Funktion f(x)=x2+1f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}f(x)=x2+1​​ innerhalb der Grenzen x=1x=1x=1​ und x=3x=3x=3​.

Einsetzen:

​V=π⋅∫13(x2+1)2dx=π⋅∫13x2+1 dxV=\pi\cdot \int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot \int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}V=π⋅∫13​(x2+1​)2dx=π⋅∫13​x2+1 dx​​

 
Integral berechnen:

=π⋅[13x3+x]13=π⋅(273+3)−π⋅(13+1)=323π‾=\pi\cdot \left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot \left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot \left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\pi}=π⋅[31​x3+x]13​=π⋅(327​+3)−π⋅(31​+1)=332​π​​​





 

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wieso ist ein pi in der Formel für Volumina von Rotationskörpern enthalten?

In der Formel für Volumina von Rotationskörpern, die aus Funktionsgraphen entstehen, ist ein pi enthalten, da bildlich gesprochen Punkte um eine Achse rotieren und dadurch Kreise bilden. Das pi wird somit quasi benötigt, um diese Kreisflächen mathematisch auszudrücken.

Wie nennt man eine Figur, die entsteht, wenn man einen Funktionsgraphen um eine Achse rotiert?

Eine solche Figur nennt man Rotationskörper.

Mit welcher mathematischen Methode kann man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen?

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, verwendet man eine Integration.

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