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Rotationsvolumen: Definition und Formel

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Rotationsvolumen: Definition und Formel

Definition 

Rotiert man einen Graphen um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper.


Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Rotationsvolumen: Definition und Formel


Formel 

Das Volumen des Rotationskörpers lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

V=πab(f(x))2dxV=\pi\cdot \int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)\right)^2dx}​​


Hinweis: Mit πr2\pi\cdot r^2 berechnet man eine Kreisfläche. Vergleiche diese Formel mit der des Rotationskörpers.



Beispiel 

Berechne das Volumen des Rotationskörpers unter der Funktion f(x)=x2+1f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}​ innerhalb der Grenzen x=1x=1​ und x=3x=3​.

Einsetzen:

V=π13(x2+1)2dx=π13x2+1 dxV=\pi\cdot \int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot \int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}​​

 
Integral berechnen:

=π[13x3+x]13=π(273+3)π(13+1)=323π=\pi\cdot \left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot \left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot \left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\pi}​​





 




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wieso ist ein pi in der Formel für Volumina von Rotationskörpern enthalten?

Wie nennt man eine Figur, die entsteht, wenn man einen Funktionsgraphen um eine Achse rotiert?

Mit welcher mathematischen Methode kann man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen?

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