Rotationsvolumen: Definition und Formel

Definition 

Rotiert man einen Graphen um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper.

Formel 

Das Volumen des Rotationskörpers lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

​$$V=\pi\cdot \int_{a}^{b}{\left(f\left(x\right)\right)^2dx}$$​​

Hinweis: Mit $$\pi\cdot r^2$$ berechnet man eine Kreisfläche. Vergleiche diese Formel mit der des Rotationskörpers.

Beispiel 

Berechne das Volumen des Rotationskörpers unter der Funktion $$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$$​ innerhalb der Grenzen $$x=1$$​ und $$x=3$$​.

Einsetzen:

​$$V=\pi\cdot \int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot \int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}$$​​

 
Integral berechnen:

$$=\pi\cdot \left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot \left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot \left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\pi}$$​​

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