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Matrizen

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

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Lehrperson: Chiara

Zusammenfassung

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Definition

Der Eigenvektor einer Matrix AA ist ein Vektor, dessen Richtung nicht verändert wird, wenn er mit der Matrix AA multipliziert wird. Der Eigenvektor unterscheidet sich vom Nullvektor. 


Die Multiplikation zwischen der Matrix AA und dem Vektor führt zur Streckung des Vektors. Der Streckungsfaktor wird als Eigenwert bezeichnet. 


Konkret bedeutet dies: Das Produkt des Eigenvektors v\vec{v} mit der Matrix AA entspricht einem Vielfachen des Eigenvektors, und zwar genau dem Produkt zwischen Eigenwert λ\lambda und Eigenvektor. 

Av= λvA\cdot\vec{v}=\ \lambda\cdot\vec{v}​​


Eigenschaften

  • Matrizen haben typischerweise mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren.
  • Ist λ\lambda der Eigenwert der Matrix AA, so ist 1λ\frac{1}{\lambda} ein Eigenwert der Inversen A1A^{-1}.
  • Das Produkt der Eigenwerte λi\lambda_i entspricht der Determinante: i=1nλi=det(A)\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=det(A).
  • Verschiedene Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der gleichen Matrix sind zueinander orthogonal (senkrecht).


Anwendungen

Eigenvektoren und Eigenwerte werden in zahlreichen Bereichen der Physik, dem Maschinenbau, der Elektrotechnik, Informatik, etc. angewendet.


Beispiel: Schwingungsfähige Systeme besitzen oftmals eine Resonanzfrequenz. Diese wird durch die Eigenvektoren beschrieben.



Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen

VORGEHEN

1.

Subtrahiere den unbekannten Eigenwert λ\lambda von der Hauptdiagonalen der Matrix AA: 

AλEnA-\lambda\cdot E_n​​

2.

Stelle die Formel zur Berechnung der Determinanten der Matrix auf. In der Formel wird die Unbekannte λ\lambda enthalten sein.

3.

Setze det(AλEn)=0det(A-\lambda\cdot E_n)=0 und löse nach λ\lambda, um die unbekannten Eigenwerte λi\lambda_i zu finden.

4.

Berechne zu jedem Eigenwert λi\lambda_i den zugehörigen Eigenvektor vi.\vec{v_i}. Führe dazu für jeden Eigenwert die folgenden Schritte aus:

       I.          Setze den Eigenwert in die Gleichung (A λEn)v=o (A-\ \lambda\cdot E_n)\cdot\vec{v}=\vec{o}\  ein. Konkret heisst das: Ziehe den berechneten Eigenwert von der Hauptdiagonale der Matrix A ab. Multipliziere die erhaltene Matrix mit dem unbekannten Vektor v\vec{v} und setze den erhaltenen Vektor dem Nullvektor gleich. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem. 

      II.          Löse die Gleichungen nach einer Komponente viv_i auf. Die anderen Komponenten werden durch viv_i ausgedrückt.

     III.          Definiere den Wert einer anderen Komponente vj ,v_j\ , üblicherweise wird vj =1 v_j\ =1\  gewählt.

    IV.          Setzen den in Schritt III definierten Wert für vj =1 v_j\ =1\   in die Gleichungen aus Schritt II ein.


Beispiel - Berechne die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A=(2174)A=\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)


Matrix aufstellen AλE2A-\lambda\cdot E_2

(2174)λ(1001)=(2λ174λ)\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)​​


Determinante aufstellen:

det(2λ174λ)=(2λ)(4λ)71=λ2+2λ15det\left(\begin{matrix}2-\lambda&1\\7&-4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(2-\lambda)\cdot(-4-\lambda)-7\cdot 1=\lambda^2+2\lambda-15​​


Term gleich Null setzen und Gleichung lösen:

λ2+2λ15=0(λ+5)(λ3)=0\lambda^2+2\lambda-15=0\\(\lambda+5)(\lambda-3)=0​​


Eigenwerte:

λ1=5,λ2=3\lambda_1=-5,\lambda_2=3​​


Eigenvektoren bestimmen: Setze λ1 \lambda_1\ ​ in die Gleichung  (A λ1E2)v=o\ (A-\ \lambda_1\cdot E_2)\cdot\vec{v}=\vec{o}  ein:

((2174)(5)(1001))(v1v2)=(00)\left(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-4\\\end{matrix}\right)-(-5)\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)​​


(7171)(v1v2)=(00)\left(\begin{matrix}7&1\\7&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)​​


Multipliziere Vektor und Matrix:

(7v1+v27v1+v2)=(00)\left(\begin{matrix}{7v}_1+v_2\\{7v}_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)​​


Löse die Gleichung nach einer Komponente auf:

v2=7v1v_2=-7v_1​​


Setze v1=1v_1=1​. Daraus folgt v2=7v1=7v_2=-7v_1=-7.


Der Eigenvektor zu λ1\lambda_1 lautet: 

v=(17)\vec{v}=\left(\begin{matrix}1\\-7\\\end{matrix}\right)​​


Mit den gleichen Rechenschritten erhält man für  den Eigenvektor:

v=(11)\vec{v}=\left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)​​




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Was ist der Eigenvektor?

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