Der Eigenvektor einer MatrixAist ein Vektor, dessen Richtung nicht verändert wird, wenn er mit der MatrixAmultipliziert wird. Der Eigenvektor unterscheidet sich vom Nullvektor.
Die Multiplikation zwischen der MatrixAund dem Vektor führt zur Streckung des Vektors. Der Streckungsfaktor wird als Eigenwert bezeichnet.
Konkret bedeutet dies: Das Produkt des Eigenvektorsvmit der Matrix Aentspricht einem Vielfachen des Eigenvektors, und zwar genau dem Produkt zwischen Eigenwertλund Eigenvektor.
A⋅v=λ⋅v
Eigenschaften
Matrizen haben typischerweise mehrere Eigenwerte und Eigenvektoren.
Istλder Eigenwert der MatrixA,so istλ1ein Eigenwert der InversenA−1.
Das Produkt der Eigenwerteλientspricht der Determinante:i=1∏nλi=det(A).
Verschiedene Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der gleichen Matrix sind zueinander orthogonal (senkrecht).
Anwendungen
Eigenvektoren und Eigenwerte werden in zahlreichen Bereichen der Physik, dem Maschinenbau, der Elektrotechnik, Informatik, etc. angewendet.
Beispiel: Schwingungsfähige Systeme besitzen oftmals eine Resonanzfrequenz. Diese wird durch die Eigenvektoren beschrieben.
Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen
VORGEHEN
1.
Subtrahiere den unbekannten Eigenwertλvon der Hauptdiagonalen der MatrixA:
A−λ⋅En
2.
Stelle die Formel zur Berechnung der Determinanten der Matrix auf. In der Formel wird die Unbekannte λenthalten sein.
3.
Setzedet(A−λ⋅En)=0und löse nachλ, um die unbekannten Eigenwerteλizu finden.
4.
Berechne zu jedem Eigenwertλiden zugehörigen Eigenvektorvi.Führe dazu für jeden Eigenwert die folgenden Schritte aus:
I.Setze den Eigenwert in die Gleichung (A−λ⋅En)⋅v=oein. Konkret heisst das: Ziehe den berechneten Eigenwert von der Hauptdiagonale der Matrix A ab. Multipliziere die erhaltene Matrix mit dem unbekannten Vektorvund setze den erhaltenen Vektor dem Nullvektor gleich. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem.
II.Löse die Gleichungen nach einer Komponenteviauf. Die anderen Komponenten werden durch viausgedrückt.
III.Definiere den Wert einer anderen Komponentevj,üblicherweise wirdvj=1gewählt.
IV.Setzen den in Schritt III definierten Wert fürvj=1in die Gleichungen aus Schritt II ein.
Beispiel - Berechne die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der MatrixA=(271−4)
Matrix aufstellenA−λ⋅E2:
(271−4)−λ⋅(1001)=(2−λ71−4−λ)
Determinante aufstellen:
det(2−λ71−4−λ)=(2−λ)⋅(−4−λ)−7⋅1=λ2+2λ−15
Term gleich Null setzen und Gleichung lösen:
λ2+2λ−15=0(λ+5)(λ−3)=0
Eigenwerte:
λ1=−5,λ2=3
Eigenvektoren bestimmen: Setzeλ1 in die Gleichung (A−λ1⋅E2)⋅v=oein:
((271−4)−(−5)⋅(1001))⋅(v1v2)=(00)
(7711)⋅(v1v2)=(00)
Multipliziere Vektor und Matrix:
(7v1+v27v1+v2)=(00)
Löse die Gleichung nach einer Komponente auf:
v2=−7v1
Setze v1=1. Daraus folgtv2=−7v1=−7.
Der Eigenvektor zuλ1lautet:
v=(1−7)
Mit den gleichen Rechenschritten erhält man fürden Eigenvektor:
v=(11)
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