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Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

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Erklärvideo

Lehrperson: Kim

Zusammenfassung

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Definition

Als binäre Modelle kann man diejenigen Kombinatorik-Probleme bezeichnen, bei denen alle Elemente nur zwei Formen annehmen können (binäre Elemente), z.B.:

  • Null / Eins
  • schwarz / weiss
  • aufgedeckt / nichtaufgedeckt
  • besetzt / nichtbesetzt
  • usw.

​


Formel-Trick

Sucht man nach der Anzahl Möglichkeiten, aus nnn​ unterschiedlichen Elementen kkk​ auszuwählen, kann man die Formel der Kombination ohne Wiederholung verwenden:


​(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}(kn​)=k!⋅(n−k)!n!​​​

n: Anzahl Elemente total

k: Anzahl ausgewählter Elemente


Beispiel

Ein Fragenkatalog beinhaltet 30 Fragen. In einer Prüfung werden 10 der Fragen abgefragt.

Wie viele verschiedene Prüfungen sind möglich?


Alle Fragen sind unterschiedlich. Eine Frage wird ausgewählt oder nicht ausgewählt.

Das binäre Modell ist anwendbar.


nnn​: Anzahl Fragen total: n=30n=30n=30​

kkk​: Anzahl gewählter Fragen: k=10k=10k=10​


Berechnung:

(3010)=30!10!⋅(30−10)!=30 045 015‾\binom{30}{10}=\frac{30!}{10!\cdot\left(30-10\right)!}=\underline{30\ 045\ 015}(1030​)=10!⋅(30−10)!30!​=30 045 015​​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das binäre Modell?

Als binäres Modell kann man diejenigen Kombinatorik-Probleme bezeichne, bei denen alle Elemente nur zwei formen annehmen können (binäre Elemente).

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