Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Definition

Als binäre Modelle kann man diejenigen Kombinatorik-Probleme bezeichnen, bei denen alle Elemente nur zwei Formen annehmen können (binäre Elemente), z.B.:

Null / Eins
schwarz / weiss
aufgedeckt / nichtaufgedeckt
besetzt / nichtbesetzt
usw.

Formel-Trick

Sucht man nach der Anzahl Möglichkeiten, aus $n$ unterschiedlichen Elementen $k$ auszuwählen, kann man die Formel der Kombination ohne Wiederholung verwenden:

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$

n: Anzahl Elemente total

k: Anzahl ausgewählter Elemente

Beispiel

Ein Fragenkatalog beinhaltet 30 Fragen. In einer Prüfung werden 10 der Fragen abgefragt.

Wie viele verschiedene Prüfungen sind möglich?

Alle Fragen sind unterschiedlich. Eine Frage wird ausgewählt oder nicht ausgewählt.

Das binäre Modell ist anwendbar.

$n$ : Anzahl Fragen total: $n=30$

$k$ : Anzahl gewählter Fragen: $k=10$

Berechnung:

$\binom{30}{10}=\frac{30!}{10!\cdot\left(30-10\right)!}=\underline{30\ 045\ 015}$