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Mathematik

Kombinatorik

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

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Differentialrechnung

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen
Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln
Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion
Ableitung trigonometrische Funktion
Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel
Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs
Grenzwerte und Asymptoten bestimmen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen
Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen
Lokale und globale Extrempunkte bestimmen
Wendepunkte bestimmen und unterscheiden
Monotonie: Definition und Vorgehen
Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion
Kurvenscharen und Ortskurve
Verschiedene Extremalwertprobleme lösen
Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung
Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral
Stammfunktion bilden und Integrationsregeln
Partielle Integration: Anwendung & Formel
Substitution bei verschachtelten Funktionen
Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse
Rotationsvolumen: Definition und Formel
Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten
Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor
Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln
Koordinatensystem in 2D und 3D
Komponentendarstellung in 2D und 3D
Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D
Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln
Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform
Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen
Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung
Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften
Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte
Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion
Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade
Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Kreise und Kugeln

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln
Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen
Kugel und Ebene: Lagebeziehungen und Aufgaben
Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln
Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln
Fakultät: Definition und Formel
Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung
Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung
Variationsformeln ohne und mit Wiederholung
Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung
Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination
Verschachtelte Kombinatorik-Probleme
Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften
Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
Zufallsexperiment

Statistik

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln
Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte
Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Folgen und Reihen

Arten und Darstellungen von Folgen
Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert
Reihen: Einführung und Grenzwerte

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen
Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen
Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln
Determinante von Matrizen berechnen
Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften
Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen
Brüche

Erklärvideo

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Lehrperson: Kim

Zusammenfassung

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Definition

Als binäre Modelle kann man diejenigen Kombinatorik-Probleme bezeichnen, bei denen alle Elemente nur zwei Formen annehmen können (binäre Elemente), z.B.:

  • Null / Eins
  • schwarz / weiss
  • aufgedeckt / nichtaufgedeckt
  • besetzt / nichtbesetzt
  • usw.

​


Formel-Trick

Sucht man nach der Anzahl Möglichkeiten, aus nnn​ unterschiedlichen Elementen kkk​ auszuwählen, kann man die Formel der Kombination ohne Wiederholung verwenden:


​(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}(kn​)=k!⋅(n−k)!n!​​​

n: Anzahl Elemente total

k: Anzahl ausgewählter Elemente


Beispiel

Ein Fragenkatalog beinhaltet 30 Fragen. In einer Prüfung werden 10 der Fragen abgefragt.

Wie viele verschiedene Prüfungen sind möglich?


Alle Fragen sind unterschiedlich. Eine Frage wird ausgewählt oder nicht ausgewählt.

Das binäre Modell ist anwendbar.


nnn​: Anzahl Fragen total: n=30n=30n=30​

kkk​: Anzahl gewählter Fragen: k=10k=10k=10​


Berechnung:

(3010)=30!10!⋅(30−10)!=30 045 015‾\binom{30}{10}=\frac{30!}{10!\cdot\left(30-10\right)!}=\underline{30\ 045\ 015}(1030​)=10!⋅(30−10)!30!​=30 045 015​​​


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Übungen

Leicht

1 Aufgaben

Mittel

1 Aufgaben

Zum Weiterlernen

3 Aufgaben

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Grundlagen

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln
Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Überblick

Lernziele

    Überblick

    Häufig gestellte Fragen (FAQ)

    Was ist das binäre Modell?

    Als binäres Modell kann man diejenigen Kombinatorik-Probleme bezeichne, bei denen alle Elemente nur zwei formen annehmen können (binäre Elemente).

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