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Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln
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Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D
Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln
Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform
Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung
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Grundlagen
Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren
Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften
Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen
Brüche
Erklärvideo
Zusammenfassung
Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Hintergrund
Je nach Zusammenstellung der Zufallsexperimente sind zwei Darstellungstypen hilfreich.
Sie helfen dabei, eine klare Übersicht über die Zufallsexperimente zu erlangen und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten einfacher zu berechnen.
Tabelle
Anwendung bei
- zweistufigen Zufallsexperimenten,
- gleichverteilten Wahrscheinlichkeiten, z.B. Würfel, Münzen.
Darstellung
TABELLE
- Erste Zeile: Ereignisse vom 1. Zufallsexperiment
- Erste Spalte: Ereignisse vom 2. Zufallsexperiment
- Zellen: Kombination der Ereignisse entsprechend der Aufgabenstellung
Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zellen sind gleich.
- Wahrscheinlichkeit einer Zelle:
- Wahrscheinlichkeiten mehrerer Zellen:
Beispiel
Zwei Würfel wurden geworfen. Die Augenzahlen sollen addiert werden.
| Tabelle  | Darstellung
Wahrscheinlichkeit
|
Kombinierte Wahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 8:
Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 4:
Baumdiagramm
Anwendung bei
- allen mehrstufigen Zufallsexperimenten, z.B. fünfmal eine Kugel aus einer Urne ziehen.
- «nichtgleichverteilter» Wahrscheinlichkeit, z.B. bei Umfragen, Urne mit unterschiedlich vielen farbigen Kugeln.
Darstellung
Elemente des Baums
 | KNOTEN | Mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments |
 | ÄSTE | Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Knotens) |
Wahrscheinlichkeiten
«UND-WAHRSCHEINLICHKEITEN»Knoten hintereinander kombinieren | Multipliziere die Wahrscheinlichkeit der Äste auf dem Weg vom Start- zum Endknoten. |
«ODER-WAHRSCHEINLICHKEITEN»Knoten nebeneinander kombinieren | Addiere die Wahrscheinlichkeiten der kombinierten Endknoten. |
Baum zeichnen
VORGEHEN
| 1. | Startknoten zeichnen. |
| 2. | Alle möglichen Ergebnisse des ersten Zufallsereignisses als Knoten einzeichnen. |
| 3. | Startknoten mit jedem der Knoten verbinden. Einstufige Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an den Ästen notieren. |
| 4. | Unter jeden Knoten die möglichen Ereignisse des nächsten Zufallsereignisses als Knoten einzeichnen. |
| 5. | Knoten wieder mit Ästen verbinden und jeweilige einstufige Wahrscheinlichkeit notieren. |
| 6. | Die Schritte 4 und 5 für alle Zufallsstufen wiederholen. |
| 7. | Jeweils die Wahrscheinlichkeit der Äste auf dem Weg vom Start- zum Endknoten multiplizieren. |
Tipp: Bei vielen Stufen und vielen Ereignissen: Zeichne nur denjenigen Teil des Baumdiagramms, welcher zum Lösen der Aufgabe notwendig ist.
Beispiel
Urne mit fünf gestreiften, drei grauen und zwei weissen Kugeln.
Startknoten zeichnen:
Knoten: (1) graue Kugel, (2) weisse Kugel, (3) gestreifte Kugel.
Einstufige Wahrscheinlichkeiten
- Graue Kugel:
- Weisse Kugel:
- Gestreifte Kugel:
Erste Stufe:
Zweite Stufe:
- Nach jedem Knoten kann wieder eine graue, eine weisse oder eine gestreifte Kugel gezogen werden.
- Die vorher gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Neue Wahrscheinlichkeiten: Nenner um 1 reduzieren und Zähler dort um 1 reduzieren, wo die gleiche Kugel gezogen wird.
Ganzer Baum mit Wahrscheinlichkeiten der Endknoten:
Lerne mit Grundlagen
Abkürzung
Optional
Teil 4
Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Finaler Test
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Welche Zufallsexperimente gibt es?
Ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das einmalige Werfen eines Würfels oder einer Münze.
Was ist ein Zufallsexperiment?
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen, nicht vorhersagbaren Ergebnis, zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Man kann nicht vorhersagen, ob man die Zahl 1,2,3,4,5 oder 6 würfelt.
Was ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment?
Werden Zufallsexperimente mehrmals hintereinander oder parallel ausgeführt so spricht man von "mehrstufigen Zufallsexperimenten".