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​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

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Lehrperson: Kim

Zusammenfassung

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Hintergrund

Je nach Zusammenstellung der Zufallsexperimente sind zwei Darstellungstypen hilfreich.

Sie helfen dabei, eine klare Übersicht über die Zufallsexperimente zu erlangen und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten einfacher zu berechnen.



Tabelle

Anwendung bei

  • zweistufigen Zufallsexperimenten,
  • gleichverteilten Wahrscheinlichkeiten, z.B. Würfel, Münzen.


Darstellung

TABELLE

  • Erste Zeile: Ereignisse vom 1. Zufallsexperiment
  • Erste Spalte: Ereignisse vom 2. Zufallsexperiment
  • Zellen: Kombination der Ereignisse entsprechend der Aufgabenstellung


Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zellen sind gleich.

  • Wahrscheinlichkeit einer Zelle: P(eine Zelle)=1Gesamte Anzahl an ZellenP(eine\ Zelle)=\frac{1}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}
  • Wahrscheinlichkeiten mehrerer Zellen: P(untersuchte Zellen)=Anzahl der untersuchten ZellenGesamte Anzahl an ZellenP\left(untersuchte\ Zellen\right)=\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}


Beispiel

Zwei Würfel wurden geworfen. Die Augenzahlen sollen addiert werden.

Tabelle

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Darstellung

  • Die Werte in den Zellen zeigen jeweils die Summe der Augenzahlen.

Wahrscheinlichkeit

  • Die Wahrscheinlichkeit jeder Zelle beträgt: P=136P=\frac{1}{36}.
  • Auf den Schrägen (aufsteigend) sind gleiche Ergebnisse.


Kombinierte Wahrscheinlichkeiten:

Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 8: P(8)=536P(8)=\frac{5}{36}

Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 4: P(4)=336=112P(4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}



Baumdiagramm

Anwendung bei

  • allen mehrstufigen Zufallsexperimenten, z.B. fünfmal eine Kugel aus einer Urne ziehen.
  • «nichtgleichverteilter» Wahrscheinlichkeit, z.B. bei Umfragen, Urne mit unterschiedlich vielen farbigen Kugeln.


Darstellung

Elemente des Baums

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

KNOTEN

Mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

ÄSTE

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Knotens)


​Wahrscheinlichkeiten

«UND-WAHRSCHEINLICHKEITEN»

Knoten hintereinander kombinieren

Multipliziere die Wahrscheinlichkeit der Äste auf dem Weg vom Start- zum Endknoten.

«ODER-WAHRSCHEINLICHKEITEN»

Knoten nebeneinander kombinieren

Addiere die Wahrscheinlichkeiten der kombinierten Endknoten.


Baum zeichnen

VORGEHEN

1.

Startknoten zeichnen.

2.

Alle möglichen Ergebnisse des ersten Zufallsereignisses als Knoten einzeichnen.

3.

Startknoten mit jedem der Knoten verbinden.

Einstufige Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an den Ästen notieren.

4.

Unter jeden Knoten die möglichen Ereignisse des nächsten Zufallsereignisses als Knoten einzeichnen.

5.

Knoten wieder mit Ästen verbinden und jeweilige einstufige Wahrscheinlichkeit notieren.

6.

Die Schritte 4 und 5 für alle Zufallsstufen wiederholen.

7.

Jeweils die Wahrscheinlichkeit der Äste auf dem Weg vom Start- zum Endknoten multiplizieren.


Tipp: Bei vielen Stufen und vielen Ereignissen: Zeichne nur denjenigen Teil des Baumdiagramms, welcher zum Lösen der Aufgabe notwendig ist.


Beispiel

Urne mit fünf gestreiften, drei grauen und zwei weissen Kugeln.

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten


Startknoten zeichnen:

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Knoten: (1) graue Kugel, (2) weisse Kugel, (3) gestreifte Kugel.


Einstufige Wahrscheinlichkeiten

  • Graue Kugel: w(grau)=310w\left(grau\right)=\frac{3}{10}
  • Weisse Kugel: w(weiss)=210=15w\left(weiss\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
  • Gestreifte Kugel: w(gestreift)=510=12w\left(gestreift\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}


Erste Stufe:

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Zweite Stufe:

  • Nach jedem Knoten kann wieder eine graue, eine weisse oder eine gestreifte Kugel gezogen werden.
  • Die vorher gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Neue Wahrscheinlichkeiten: Nenner um 1 reduzieren und Zähler dort um 1 reduzieren, wo die gleiche Kugel gezogen wird.
Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten


Ganzer Baum mit Wahrscheinlichkeiten der Endknoten:

Mathematik; Grundlagen; Passerelle; ​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Zufallsexperimente gibt es?

Was ist ein Zufallsexperiment?

Was ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment?

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