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Gegenseitige Lage von zwei Geraden

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Gegenseitige Lage von zwei Geraden

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Lagebeziehungen zwischen Ebenen

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Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Fälle

IDENTISCH

Geraden liegen aufeinander:

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen auf beiden Geraden.
Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden

PARALLEL

Geraden sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear)
  • Stützpunkte liegen nicht auf beiden Geraden
Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden

EIN SCHNITTPUNKT

Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben einen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden

WINDSCHIEF

(nur 3D)

Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden


Gegenseitige Lage bestimmen

Mit einem Gleichungssystem

VORGEHEN

1.

Geraden gleichsetzen. Gleichungssystem bilden.

2.

Gleichungssystem auflösen:

Wahres Ergebnis (z.B. 0=00=00=0​), alle Parameter fallen beim Rechnen weg:

 Geraden identisch


Eindeutiges Ergebnis für sss​ und ttt​:

 Geraden schneiden sich in einem Punkt

Schnittpunkt: Parameter in eine der Geradengleichungen einsetzen.


Kein Ergebnis:

 Geraden sind parallel oder windschief

Sie sind parallel, falls deren Richtungsvektoren kollinear sind. Andererseits sind die Geraden windschief.


Tipp: Sind die Richtungsvektoren parallel (kollinear), so sind die Geraden es auch. Liegen die Stützpunkte auf beiden Geraden sind sie zudem identisch.


Beispiel

Gegeben:

g:   x⃗=(123)+s⋅(100)g:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right)g:   x=​123​​+s⋅​100​​​​


h:   x⃗=(333)+t⋅(011)h:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\\end{matrix}\right)h:   x=​333​​+t⋅​011​​​​

Gleichungssystem:

1+s⋅1=3+t⋅02+s⋅0=3+t⋅13+s⋅0=3+t⋅11+s\cdot1=3+t\cdot0\\2+s\cdot0=3+t\cdot1\\3+s\cdot0=3+t\cdot11+s⋅1=3+t⋅02+s⋅0=3+t⋅13+s⋅0=3+t⋅1​​

Lösung: s=2,t=−1,t=0(×) s=2, t=-1, t=0 \left(\times\right)s=2,t=−1,t=0(×)​


Die Geraden sind windschief.



Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Berechnung

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden



Kleinsten Abstand zwischen windschiefen Geraden

Gegeben sind die Geradengleichungen von zwei windschiefen Geraden:

g:   x⃗=p⃗+t⋅u⃗,    t∈Rh:   x⃗=q⃗+s⋅v⃗,    s∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}\\h:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{v},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}g:   x=p​+t⋅u,    t∈Rh:   x=q​+s⋅v,    s∈R​​



Abstand zwischen Ebene E und dem Stützpunkt Q der anderen Geraden h bestimmen:

Hess’sche Abstandsformel erstellen:

Dg zu h=∣q⃗⋅n⃗−p⃗⋅n⃗∣∣n⃗∣D_{g\ zu\ h}=\frac{\left|\vec{q}\cdot\vec{n}-\vec{p}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}Dg zu h​=∣n∣∣q​⋅n−p​⋅n∣​​​

Normalenvektor: n⃗=u⃗×v⃗\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}n=u×v​  (Richtungsvektoren der Geraden)

  • p⃗\vec{p}p​​: Stützpunkt der Geraden g
  • p⃗\vec{p}p​​: Stützpunkt der Geraden h


Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Gegenseitige Lage von zwei Geraden


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Dauer:
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief zueinander sind?

Wenn zwei Geraden windschief zueinander sind, so bedeutet dies, dass die Geraden sich nicht schneiden und ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind.

Welche Teile zweier sich schneidender Geraden werden benötigt, um ihren Schnittwinkel zu berechnen?

Um den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen, werden ihre Richtungsvektoren benötigt.

Welche Lage können zwei Geraden zueinander haben?

Zwei Geraden können entweder identisch, parallel zueinander und im Dreidimensionalen auch windschief zueinander sein oder sich schneiden.

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