Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Fälle

IDENTISCH	Geraden liegen aufeinander: Richtungsvektoren sind parallel (kollinear). Stützpunkte liegen auf beiden Geraden.
PARALLEL	Geraden sind parallel, sie schneiden sich nicht. Richtungsvektoren sind parallel (kollinear) Stützpunkte liegen nicht auf beiden Geraden
EIN SCHNITTPUNKT	Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S. Richtungsvektoren sind nicht parallel Geraden haben einen gemeinsamen Punkt
WINDSCHIEF (nur 3D)	Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Richtungsvektoren sind nicht parallel Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt

Gegenseitige Lage bestimmen

Mit einem Gleichungssystem

VORGEHEN

Tipp: Sind die Richtungsvektoren parallel (kollinear), so sind die Geraden es auch. Liegen die Stützpunkte auf beiden Geraden sind sie zudem identisch.

Beispiel

Gegeben:

$$g:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right)$$​​

$$h:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\\end{matrix}\right)$$​​

Gleichungssystem:

$$1+s\cdot1=3+t\cdot0\\2+s\cdot0=3+t\cdot1\\3+s\cdot0=3+t\cdot1$$​​

Lösung: $$s=2, t=-1, t=0 \left(\times\right)$$​

Die Geraden sind windschief.

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Berechnung

Kleinsten Abstand zwischen windschiefen Geraden

Gegeben sind die Geradengleichungen von zwei windschiefen Geraden:

$$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}\\h:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{v},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}$$​​

Abstand zwischen Ebene E und dem Stützpunkt Q der anderen Geraden h bestimmen:

Hess’sche Abstandsformel erstellen:

$$D_{g\ zu\ h}=\frac{\left|\vec{q}\cdot\vec{n}-\vec{p}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}$$​​

Normalenvektor: $$\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$$​  (Richtungsvektoren der Geraden)

• $$\vec{p}$$​: Stützpunkt der Geraden g
• $$\vec{p}$$​: Stützpunkt der Geraden h