Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Bei diesem Typ von Aufgaben muss man anhand von Informationen (Bedingungen) über eine Potenzfunktion deren Funktionsgleichung aufstellen.

VORGEHEN

1.

Notiere die allgemeine Form der Funktion je nach Grad:

Grad 2	$y=ax^2+bx+c$
Grad 3	$y=ax^3+bx^2+cx+d$
Grad 4	$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
...	...

2.

Erste und zweite Ableitung bilden.

3.

Notiere alle Bedingungen:

Bedingung	Umsetzung
Punkt $P\left(x_P\middle\| y_P\right)$	$x$ - und $y$ -Wert in $f$ :	$f\left(x_p\right)=y_p$
Nullstelle in $x_N$	$x$ -Wert in $f$ :	$f\left(x_N\right)=0$
$y$ -Achsenschnittpunkt	$y$ -Wert in $f$ :	$f\left(0\right)=y_S$
Steigung m in $x_A$	$x$ -Wert in $f^\prime$ :	$f' \left(x_A\right)=m$
Extremwert $x_E$	$x$ -Wert in $f^\prime$ :	$f^\prime\left(x_E\right)=0$
Wendestelle $x_W$	$x$ -Wert in $f^{\prime\prime}$ :	$f''\left(x_W\right)=0$
Sattelstelle	$x$ -Wert in $f'$ : $x$ -Wert in $f''$ :	$f^\prime\left(x_S\right)=0$ $f''\left(x_S\right)=0$

Nicht vergessen: Extrempunkt und Wendepunkt sind auch Punkte, die man in die Funktion einsetzen kann.
Wichtig: Man benötigt so viele Bedingungen wie unbekannte Parameter $(a,\ b,\ c, …)$ .

4.

Gleichungssystem erstellen: Bedingungen in Funktion, Ableitungen einsetzen.

5.

Gleichungssystem lösen und die Funktion notieren.

Beispiel

Der Graph der Potenzfunktion vierten Grades hat bei $x=-1$  eine Extremstelle und im Punkt $W\left(0\ \right|-1)$  einen Wendepunkt. Er schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x=1$  und geht durch den Punkt $P\left(-2\ \right|3)$ . Bestimme die Gleichung der zugehörigen Potenzfunktion.

Funktion Grad 4:

$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Ableitungen:

$f\prime\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

$f''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2c$

Bedingungen:

1.	Extremstelle: $x=-1$	$f^\prime\left(-1\right)=0$	$0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d \\0=-4a+3b-2c+d$
2.	Wendestelle: $x=0$	$f''\left(0\right)=0$	$0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2 c \\0=2c$
3.	Wendepunkt: $W\left(0\ \right\|-1)$	$f\left(0\right)=-1$	$-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e \\-1=e$
4.	Nullstelle: $x=1$	$f\left(1\right)=0$	$0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e \\0=a+b+c+d+e$
5.	Punkt: $P\left(-2\ \right\|3)$	$f\left(-2\right)=3$	$3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e \\3=16a-8b+4c-2d+e$

Gleichungssystem lösen (mit dem Taschenrechner):

$\begin{aligned}0&=-4a+3b-2c+d \\0&=2c \\-1&=e \\0&=a+b+c+d+e \\3&=16a-8b+4c-2d+e \\\end{aligned}$

Lösung:

$a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1$

Funktion aufstellen:

$y=x^4+2x^3-2x-1$ 