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Kurvendiskussion

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen 

Bei diesem Typ von Aufgaben muss man anhand von Informationen (Bedingungen) über eine Potenzfunktion deren Funktionsgleichung aufstellen. 


VORGEHEN 

1.

Notiere die allgemeine Form der Funktion je nach Grad:

Grad 2

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c​​

Grad 3

y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d​​

Grad 4

y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e​​

...
...

2.

Erste und zweite Ableitung bilden.

3.

​Notiere alle Bedingungen:

Bedingung

Umsetzung


​Punkt P(xP|yP)P\left(x_P\middle| y_P\right)​​

xx- und yy​-Wert in ff​:

f(xp)=ypf\left(x_p\right)=y_p​​

Nullstelle in xNx_N​​

xx​-Wert in ff​:

f(xN)=0f\left(x_N\right)=0​​

y​y​-Achsenschnittpunkt

yy​-Wert in ff​:

f(0)=ySf\left(0\right)=y_S​​

​Steigung m in xAx_A​​

xx​-Wert in ff^\prime​:

f(xA)=mf' \left(x_A\right)=m​​

​Extremwert xEx_E​​

xx​-Wert in ff^\prime​:

f(xE)=0f^\prime\left(x_E\right)=0​​

​Wendestelle xWx_W​​

xx​-Wert in ff^{\prime\prime}​:

f(xW)=0f''\left(x_W\right)=0​​

​Sattelstelle

xx​-Wert in ff'​:
xx​-Wert in ff''​:

f(xS)=0f^\prime\left(x_S\right)=0​​

f(xS)=0f''\left(x_S\right)=0​​

Nicht vergessen: Extrempunkt und Wendepunkt sind auch Punkte, die man in die Funktion einsetzen kann.
Wichtig: Man benötigt so viele Bedingungen wie unbekannte Parameter (a, b, c,)(a,\ b,\ c, …)​.

4.

​Gleichungssystem erstellen: Bedingungen in Funktion, Ableitungen einsetzen.

5.

​Gleichungssystem lösen und die Funktion notieren.



Beispiel 

Der Graph der Potenzfunktion vierten Grades hat bei x=1x=-1​ eine Extremstelle und im Punkt W(0 1)W\left(0\ \right|-1)​ einen Wendepunkt. Er schneidet die xx​-Achse an der Stelle x=1x=1​ und geht durch den Punkt P(2 3)P\left(-2\ \right|3). Bestimme die Gleichung der zugehörigen Potenzfunktion. 


Funktion Grad 4:

y=ax4+bx3+cx2+dx+ey=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e​​


Ableitungen:

f(x)=4ax3+3bx2+2cx+df\prime\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d​​

f(x)=12ax2+6bx+2cf''\left(x\right)=12ax^2+6bx+2c​​


Bedingungen:

1.

Extremstelle: x=1x=-1

f(1)=0f^\prime\left(-1\right)=0​​

0=4a(1)3+3b(1)2+2c(1)+d0=4a+3b2c+d0=4a\left(-1\right)^3+3b\left(-1\right)^2+2c\left(-1\right)+d \\0=-4a+3b-2c+d​​

2.

​Wendestelle: x=0x=0

f(0)=0f''\left(0\right)=0​​

0=12a(0)2+6b(0)+2c0=2c0=12a\left(0\right)^2+6b\cdot\left(0\right)+2 c \\0=2c​​

3.

​Wendepunkt: W(0 1)W\left(0\ \right|-1)

f(0)=1f\left(0\right)=-1​​

1=a(0)4+b(0)3+c(0)2+d(0)+e1=e-1=a\cdot\left(0\right)^4+b\cdot\left(0\right)^3+c\cdot\left(0\right)^2+d\cdot\left(0\right)+e \\-1=e​​

4.

​Nullstelle: x=1x=1

f(1)=0f\left(1\right)=0​​

0=a(1)4+b(1)3+c(1)2+d(1)+e0=a+b+c+d+e0=a\cdot\left(1\right)^4+b\cdot\left(1\right)^3+c\cdot\left(1\right)^2+d\cdot\left(1\right)+e \\0=a+b+c+d+e​​

5.

​Punkt: P(2 3)P\left(-2\ \right|3)

f(2)=3f\left(-2\right)=3​​

3=a(2)4+b(2)3+c(2)2+d(2)+e3=16a8b+4c2d+e3=a\cdot{(-2)}^4+b\cdot{(-2)}^3+c\cdot{(-2)}^2+d\cdot(-2)+e \\3=16a-8b+4c-2d+e​​


Gleichungssystem lösen (mit dem Taschenrechner):

0=4a+3b2c+d0=2c1=e0=a+b+c+d+e3=16a8b+4c2d+e\begin{aligned}0&=-4a+3b-2c+d \\0&=2c \\-1&=e \\0&=a+b+c+d+e \\3&=16a-8b+4c-2d+e \\\end{aligned}​​

Lösung:

a=1, b=2, c=0, d=2, e=1a=1,\ b=2,\ c=0,\ d=-2,\ e=-1​​


Funktion aufstellen:

y=x4+2x32x1y=x^4+2x^3-2x-1​​

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