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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Erklärvideo

Zusammenfassung

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Potenzfunktion

Potenzfunktionen sind Funktionen mit x in der Basis.
Die Parameter a und n sind reelle Zahlen: a,n∈Ra, n \in \Realsa,n∈R​.
​a⋅xna \cdot x^na⋅xn​​


Ableitungsregel

Mit den folgenden Regeln kann man direkt die Ableitung einer Potenzfunktion bilden. 

Funktion f(x)f(x)f(x)​​

Ableitung f′(x)f'(x)f′(x)​

Beispiel

Allgemein

​a⋅xna \cdot x^na⋅xn​​
​a⋅n⋅xn−1a \cdot n \cdot x^{n-1}a⋅n⋅xn−1​​
​f(x)=f(x)=f(x)=​​
​2x42x^42x4​​
​f′(x)=f'(x)=f′(x)=​​
​2⋅4⋅x4−1=8x32\cdot 4 \cdot x^{4-1}=8x^32⋅4⋅x4−1=8x3​​



Sonderregeln


Funktion f(x)f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)f′(x)

Beispiel

Konstante

​aaa​​
​000​​
​f(x)=f(x)=f(x)=​
​555​​
​f′(x)=f'(x)=f′(x)=​
​000​​

Hoch 1

​axaxax​​
​aaa​​
​f(x)=f(x)=f(x)=​
​3x3x3x​​

​f′(x)=f'(x)=f′(x)=​

​333​​

Gerade

​mx+qmx+qmx+q
​mmm
​f(x)=f(x)=f(x)=
​2x+12x+12x+1
​f′(x)=f'(x)=f′(x)=
​222



Tipps für weitere Potenzfunktionen


Funktion f(x)f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)f′(x)

Beispiel

Wurzel

​xn=x1n\sqrt [n]{x}=x^{\frac{1}{n}}nx​=xn1​​​
Wandle die Wurzel in einen Exponenten um.
Leite dann normal ab.
​​f(x)=f(x)=f(x)=​​​
​x3=x13\sqrt [3]{x}=x^{\frac{1}{3}}3x​=x31​​

​
​​​f′(x)=f'(x)=f′(x)=​

​13x13−1=13x−23\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}31​x31​−1=31​x−32​​​

Bruch

​1xn=x−n\frac{1}{x^n}=x^{-n}xn1​=x−n
​Wandle den Bruch durch den Exponenten um.
Leite dann normal ab.
​f(x)=f(x)=f(x)=
​2x3=2x−3\frac{2}{x^3}=2x^{-3}x32​=2x−3​​
​f′(x)=f'(x)=f′(x)=
​2⋅(−3)⋅x−3−1=−6x−42 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1}=-6x^{-4}2⋅(−3)⋅x−3−1=−6x−4​​


Zusätzliche Regeln

Regeln für Vorfaktoren und addierte/subtrahierte Funktionen.


Funktion f(x)f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)f′(x)

Beispiel

Faktorregel

​c⋅u(x)c \cdot u(x)c⋅u(x)
​c⋅u′(x)c \cdot u'(x)c⋅u′(x)​​
​​f(x)=f(x)=f(x)=​​​
​2x42x^42x4

​f′(x)=f'(x)=f′(x)=​

​2⋅4⋅x4−1=8x32 \cdot 4 \cdot x^{4-1}=8x^32⋅4⋅x4−1=8x3

Summenregel

​u(x)+v(x)u(x)+v(x)u(x)+v(x)
​u′(x)+v′(x)u'(x)+v'(x)u′(x)+v′(x)​​

​f(x)=f(x)=f(x)=

​3x2+5x3x^2+5x3x2+5x
​f′(x)=f'(x)=f′(x)=
​3⋅2⋅x2−1+5=6x+53 \cdot 2 \cdot x^{2-1}+5=6x+53⋅2⋅x2−1+5=6x+5


Hinweis: Die Summenregel gilt auch für Differenzen (Minus).
Mehr dazu

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Teil 1

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Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie leitet man eine Potenzfunktion ab?

Für Potenzfunktionen gilt die Ableitungsregel: die Hochzahl kommt als Faktor vor die Funktion und die Hochzahl wird um 1 verkleinert.

Was ist die Ableitung einer Konstante?

Die Ableitung einer Konstante ist 0.

Wie leitet man eine Wurzel ab?

Wandle die Wurzel in einen Exponenten um und leite dann mit der Regel für Potenzfunktionen ab.

Wie lautet die Summenregel der Ableitung?

Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen der Summe der einzelnen Ableitungen entspricht.

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