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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Zusammenfassung

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Potenzfunktion

Potenzfunktionen sind Funktionen mit x in der Basis.
Die Parameter a und n sind reelle Zahlen: a,n∈Ra, n \in \Reals​.
​a⋅xna \cdot x^n​​


Ableitungsregel

Mit den folgenden Regeln kann man direkt die Ableitung einer Potenzfunktion bilden. 

Funktion f(x)f(x)​​

Ableitung f′(x)f'(x)​

Beispiel

Allgemein

​a⋅xna \cdot x^n​​
​a⋅n⋅xn−1a \cdot n \cdot x^{n-1}​​
​f(x)=f(x)=​​
​2x42x^4​​
​f′(x)=f'(x)=​​
​2⋅4⋅x4−1=8x32\cdot 4 \cdot x^{4-1}=8x^3​​



Sonderregeln


Funktion f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)

Beispiel

Konstante

​aa​​
​00​​
​f(x)=f(x)=​
​55​​
​f′(x)=f'(x)=​
​00​​

Hoch 1

​axax​​
​aa​​
​f(x)=f(x)=​
​3x3x​​

​f′(x)=f'(x)=​

​33​​

Gerade

​mx+qmx+q
​mm
​f(x)=f(x)=
​2x+12x+1
​f′(x)=f'(x)=
​22



Tipps für weitere Potenzfunktionen


Funktion f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)

Beispiel

Wurzel

​xn=x1n\sqrt [n]{x}=x^{\frac{1}{n}}​​
Wandle die Wurzel in einen Exponenten um.
Leite dann normal ab.
​​f(x)=f(x)=​​​
​x3=x13\sqrt [3]{x}=x^{\frac{1}{3}}​

​
​​​f′(x)=f'(x)=​

​13x13−1=13x−23\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}​​

Bruch

​1xn=x−n\frac{1}{x^n}=x^{-n}
​Wandle den Bruch durch den Exponenten um.
Leite dann normal ab.
​f(x)=f(x)=
​2x3=2x−3\frac{2}{x^3}=2x^{-3}​​
​f′(x)=f'(x)=
​2⋅(−3)⋅x−3−1=−6x−42 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1}=-6x^{-4}​​


Zusätzliche Regeln

Regeln für Vorfaktoren und addierte/subtrahierte Funktionen.


Funktion f(x)f(x)

Ableitung f′(x)f'(x)

Beispiel

Faktorregel

​c⋅u(x)c \cdot u(x)
​c⋅u′(x)c \cdot u'(x)​​
​​f(x)=f(x)=​​​
​2x42x^4

​f′(x)=f'(x)=​

​2⋅4⋅x4−1=8x32 \cdot 4 \cdot x^{4-1}=8x^3

Summenregel

​u(x)+v(x)u(x)+v(x)
​u′(x)+v′(x)u'(x)+v'(x)​​

​f(x)=f(x)=

​3x2+5x3x^2+5x
​f′(x)=f'(x)=
​3⋅2⋅x2−1+5=6x+53 \cdot 2 \cdot x^{2-1}+5=6x+5


Hinweis: Die Summenregel gilt auch für Differenzen (Minus).

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie leitet man eine Potenzfunktion ab?

Was ist die Ableitung einer Konstante?

Wie leitet man eine Wurzel ab?

Wie lautet die Summenregel der Ableitung?

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