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Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Produkt-, Ketten- und Quotientenregeln

Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.


Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden. 


Regel

Funktion f(x)f\left(x\right)f(x)​​

Ableitung f′(x)f^\prime\left(x\right)f′(x)​​

​u(x)⋅v(x)u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)u(x)⋅v(x)​​

​u′(x)⋅v(x)⏟erste abgeleitet+u(x)⋅v′(x)⏟zweite abgeleitet\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\prime\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}erste abgeleitetu′(x)⋅v(x)​​+zweite abgeleitetu(x)⋅v′(x)​​​​

​

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

Leite die multiplizierten Funktionen einzeln ab.

2.

​Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.

3.

​Vereinfache den Term so weit wie möglich.
Tipp: Bei Funktionen mit exe^xex​ kann man meist exe^xex​ ausklammern.


Beispiel

​f(x)=(x3−1)⋅(2x5+1)f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)f(x)=(x3−1)⋅(2x5+1)​​


Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen

Ableitung

u(x)=u\left(x\right)=u(x)=​​

​x3−1x^3-1x3−1​​

u′(x)=u^\prime\left(x\right)=u′(x)=​​

​3x23x^23x2​​

​v(x)=v\left(x\right)=v(x)=​​

​2x5+12x^5+12x5+1​​

v′(x)=v^\prime\left(x\right)=v′(x)=​​

​10x410x^410x4​​


Zusammenstellung nach Regel:

f′(x)=3x2⋅(2x5+1)+(x3−1)⋅10x4f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot \left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot 10x^4f′(x)=3x2⋅(2x5+1)+(x3−1)⋅10x4​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

=6x7+3x2+10x7−10x4=16x7−10x4+3x2=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=16x^7-10x^4+3x^2=6x7+3x2+10x7−10x4=16x7−10x4+3x2​​


Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden: 

Funktion f(x)f\left(x\right)f(x)​​

Ableitung f′(x)f^\prime\left(x\right)f′(x)​​

​u(x)⋅v(x)⋅w(x)u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)u(x)⋅v(x)⋅w(x)​​

​u′(x)⋅v(x)⋅w(x)⏟erste abgeleitet+u(x)⋅v′(x)⋅w(x)⏟zweite abgeleitet+u(x)⋅v(x)⋅w′(x)⏟dritte abgeleitet\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w^\prime\left(x\right)}_{dritte\ abgeleitet}erste abgeleitetu′(x)⋅v(x)⋅w(x)​​+zweite abgeleitetu(x)⋅v′(x)⋅w(x)​​+dritte abgeleitetu(x)⋅v(x)⋅w′(x)​​​​


Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heisst, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschliesst.


Regel

Funktion f(x)f\left(x\right)f(x)

Ableitung f′(x)f^\prime\left(x\right)f′(x)

​u(v(x))u\left(v\left(x\right)\right)u(v(x))

​u′(v(x))⏟A¨ussere Ableitung⋅v′(x)⏟Innere Ableitung\underbrace{u^\prime \left(v\left(x\right)\right)}_{Äussere\ Ableitung} \cdot \underbrace{v^\prime \left(x\right)}_{Innere \ Ableitung}A¨ussere Ableitungu′(v(x))​​⋅Innere Ableitungv′(x)​​

​

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

Leite die äussere Funktion u(x)u(x)u(x)​ und innere Funktion v(x)v(x)v(x)​ einzeln ab.
Tipp zur äusseren Funktion: Notiere Dir an der Stelle der inneren Funktion ein xxx​. Leite dann ab.

2.

​Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
Tipp zur Ableitung der äusseren Funktion: Notiere Dir an der Stelle des x die innere Funktion (unabgeleitet).

3.

​Vereinfache den Term so weit wie möglich.


Beispiel

​f(x)=(x2−3)3f(x)=(x^2-3)^3f(x)=(x2−3)3​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen

Ableitung

u(x)=u\left(x\right)=u(x)=

​x3x^3x3

u′(x)=u^\prime\left(x\right)=u′(x)=

​3x23x^23x2

​v(x)=v\left(x\right)=v(x)=

​x2−3x^2-3x2−3

v′(x)=v^\prime\left(x\right)=v′(x)=

​2x2x2x


Zusammenstellung nach Regel:

f′(x)=3⋅(x2−3)2⏟u′(v(x))⋅2x⏟v′(x)f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot \left(x^2-3\right)}^2}_{u^\prime(v\left(x\right))}\cdot \underbrace{2x}_{v^\prime(x)}f′(x)=u′(v(x))3⋅(x2−3)2​​⋅v′(x)2x​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

​=6x⋅(x2−3)2={6x\cdot \left(x^2-3\right)}^2=6x⋅(x2−3)2​​


Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).


Regel

Funktion f(x)f\left(x\right)f(x)

Ableitung f′(x)f^\prime\left(x\right)f′(x)

​z(x)n(x)\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}n(x)z(x)​

​z′(x)⋅n(x)−z(x)⋅n′(x)(n(x))2\frac{z^\prime\left(x\right)\cdot n\left(x\right)-z\left(x\right)\cdot n^\prime\left(x\right)}{\left(n\left(x\right)\right)^2}(n(x))2z′(x)⋅n(x)−z(x)⋅n′(x)​


VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.

​Leite die Funktion im Zähler (x)(x)(x)​ und die Funktion im Nenner n(x)n\left(x\right)n(x)​ einzeln ab.

2.

​Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.

3.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.
Tipp: Versuche im Zähler auszuklammern. Oftmals kann man kürzen.


Beispiel

​f(x)=x3+22x2f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}f(x)=2x2x3+2​​​

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen

Ableitung

z(x)=z\left(x\right)=z(x)=

​x3+2x^3+2 x3+2

z′(x)=z^\prime\left(x\right)=z′(x)=

​3x23x^23x2

​n(x)=n\left(x\right)=n(x)=

​2x22x^2 2x2

n′(x)=n^\prime\left(x\right)=n′(x)=

​4x4x4x


Zusammenstellung nach Regel: 

f′(x)=3x2⋅2x2−(x3+2)⋅4x(2x2)2f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot 2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{\left(2x^2\right)^2}f′(x)=(2x2)23x2⋅2x2−(x3+2)⋅4x​​​

Zusammenrechnen und vereinfachen:

​=6x4−(x3+2)⋅4x4x4=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{4x^4}=4x46x4−(x3+2)⋅4x​​​

Ausklammern und kürzen:

=2x(3x3−(x3+2)⋅2)4x4=3x3−(x3+2)⋅22x3= 3x3−2x3−42x3=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}=4x42x(3x3−(x3+2)⋅2)​=2x33x3−(x3+2)⋅2​= 2x33x3−2x3−4​​​

Weiter vereinfachen:

=x3−42x3=\frac{x^3-4}{2x^3}=2x3x3−4​​​


Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss. Verwende die Regeln schrittweise von aussen nach innen.


Beispiele

​f(x)=3x⋅7x2+1f\left(x\right)=3x\cdot \sqrt{7x^2+1}f(x)=3x⋅7x2+1​​​


Schritt 1: Produktregel

​u(x)=3xu\left(x\right)=3xu(x)=3x​​

​u′(x)=3u^\prime\left(x\right)=3u′(x)=3​​

​v(x)=7x2+1v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1} v(x)=7x2+1​​​

​Verkettete Funktion


Schritt 2: Kettenregel für v(x)=7x2+1=a(b(x))v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))v(x)=7x2+1​=a(b(x))​​

​a(x)=x=x12a\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}a(x)=x​=x21​​​

​a′(x)=12x−12a^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}a′(x)=21​x−21​​​

​b(x)=7x2+1b\left(x\right)=7x^2+1b(x)=7x2+1​​

​b′(x)=14xb^\prime\left(x\right)=14xb′(x)=14x​​


Kettenregel zusammensetzen:

​v′(x)=12(7x2+1)−12⋅14x=7x(7x2+1)−12=7x7x2+1v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}v′(x)=21​(7x2+1)−21​⋅14x=7x(7x2+1)−21​=7x2+1​7x​​​

Produktregel zusammensetzen:

f′(x)=3⏟u′(x)⋅7x2+1⏟v(x)+3x⏟u(x)⋅7x7x2+1⏟v′(x)f^\prime\left(x\right)=\underbrace{3}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v^\prime(x)}f′(x)=u′(x)3​​⋅v(x)7x2+1​​​+u(x)3x​​⋅v′(x)7x2+1​7x​​​​​

Vereinfachen:

f′(x)=3⋅7x2+1⋅7x2+17x2+1+21x27x2+1=3⋅(7x2+1)7x2+1+21x27x2+1=21x2+3+21x27x2+1=42x2+37x2+1f^\prime\left(x\right)=3\cdot \sqrt{7x^2+1}\cdot \frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot (7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}f′(x)=3⋅7x2+1​⋅7x2+1​7x2+1​​+7x2+1​21x2​=7x2+1​3⋅(7x2+1)​+7x2+1​21x2​=7x2+1​21x2+3+21x2​=7x2+1​42x2+3​​​





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann verwendet man die Produktregel?

Die Produktregel braucht man zum Ableiten von multiplizierten Funktionen.

Wie lautet die Produktregel?

Die Ableitung von dem Produkt u(x)v(x) ist u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Wann verwendet man die Kettenregel?

Die Kettenregel verwendet man, wenn Funktionen zusammengesetzt oder verkettet sind, also wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist.

Wie lautet die Kettenregel?

Die Ableitung der Verkettung u(v(x)) ist u'(v(x))v'(x).

Wann verwendet man die Quotientenregel?

Die Quotientenregel verwendet man, wenn Funktionen dividiert werden.

Wie lautet die Quotientenregel?

Die Ableitung des Quotienten z(x)/n(x) ist der Term z'(x)n(x)+z(x)n'(x) dividiert durch (n(x))^2.

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