Produkt-, Ketten- und Quotientenregeln

Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.

Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\prime\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die multiplizierten Funktionen einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. Tipp: Bei Funktionen mit $e^x$ kann man meist $e^x$ ausklammern.

Beispiel

$f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3-1$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$2x^5+1$	$v^\prime\left(x\right)=$	$10x^4$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot \left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot 10x^4$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=16x^7-10x^4+3x^2$ 

Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden:

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w^\prime\left(x\right)}_{dritte\ abgeleitet}$

Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heisst, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschliesst.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(v\left(x\right)\right)$	$\underbrace{u^\prime \left(v\left(x\right)\right)}_{Äussere\ Ableitung} \cdot \underbrace{v^\prime \left(x\right)}_{Innere \ Ableitung}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die äussere Funktion $u(x)$ und innere Funktion $v(x)$ einzeln ab. *Tipp zur äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle der inneren Funktion ein $x$ . Leite dann ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen. *Tipp zur Ableitung der äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle des x die innere Funktion (unabgeleitet).
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Beispiel

$f(x)=(x^2-3)^3$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$x^2-3$	$v^\prime\left(x\right)=$	$2x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot \left(x^2-3\right)}^2}_{u^\prime(v\left(x\right))}\cdot \underbrace{2x}_{v^\prime(x)}$

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$={6x\cdot \left(x^2-3\right)}^2$

Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}$	$\frac{z^\prime\left(x\right)\cdot n\left(x\right)-z\left(x\right)\cdot n^\prime\left(x\right)}{\left(n\left(x\right)\right)^2}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die Funktion im Zähler $(x)$ und die Funktion im Nenner $n\left(x\right)$ einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. *Tipp:* Versuche im Zähler auszuklammern. Oftmals kann man kürzen.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$z\left(x\right)=$	$x^3+2$	$z^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$n\left(x\right)=$	$2x^2$	$n^\prime\left(x\right)=$	$4x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot 2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{\left(2x^2\right)^2}$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{4x^4}$

Ausklammern und kürzen:

$=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}$ 

Weiter vereinfachen:

$=\frac{x^3-4}{2x^3}$ 

Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss. Verwende die Regeln schrittweise von aussen nach innen.

Beispiele

$f\left(x\right)=3x\cdot \sqrt{7x^2+1}$

Schritt 1: Produktregel

$u\left(x\right)=3x$	$u^\prime\left(x\right)=3$
$v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}$	Verkettete Funktion

Schritt 2: Kettenregel für $v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))$

$a\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}$	$a^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$b\left(x\right)=7x^2+1$	$b^\prime\left(x\right)=14x$

Kettenregel zusammensetzen:

$v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}$

Produktregel zusammensetzen:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{3}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v^\prime(x)}$ 

Vereinfachen:

$f^\prime\left(x\right)=3\cdot \sqrt{7x^2+1}\cdot \frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot (7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}$