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Quadratische Gleichung Einführung

Direkte Berechnung quadratischer Gleichungen

Faktorzerlegung einer quadratischen Gleichung

Gleichung lösen mit quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Ungleichungen

Lineare Ungleichung

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Quadratische Ungleichungen lösen

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Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Analysis

Funktionen

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Umkehrfunktion: Definition & Beispiele

Ableitungen

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Produkt-, Ketten- und Quotientenregeln

Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.

Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\prime\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die multiplizierten Funktionen einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. Tipp: Bei Funktionen mit $e^x$ kann man meist $e^x$ ausklammern.

Beispiel

$f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3-1$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$2x^5+1$	$v^\prime\left(x\right)=$	$10x^4$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot \left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot 10x^4$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=16x^7-10x^4+3x^2$ 

Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden:

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w^\prime\left(x\right)}_{dritte\ abgeleitet}$

Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heisst, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschliesst.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(v\left(x\right)\right)$	$\underbrace{u^\prime \left(v\left(x\right)\right)}_{Äussere\ Ableitung} \cdot \underbrace{v^\prime \left(x\right)}_{Innere \ Ableitung}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die äussere Funktion $u(x)$ und innere Funktion $v(x)$ einzeln ab. *Tipp zur äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle der inneren Funktion ein $x$ . Leite dann ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen. *Tipp zur Ableitung der äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle des x die innere Funktion (unabgeleitet).
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Beispiel

$f(x)=(x^2-3)^3$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$x^2-3$	$v^\prime\left(x\right)=$	$2x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot \left(x^2-3\right)}^2}_{u^\prime(v\left(x\right))}\cdot \underbrace{2x}_{v^\prime(x)}$

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$={6x\cdot \left(x^2-3\right)}^2$

Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}$	$\frac{z^\prime\left(x\right)\cdot n\left(x\right)-z\left(x\right)\cdot n^\prime\left(x\right)}{\left(n\left(x\right)\right)^2}$

VORGEHEN BEIM ABLEITEN

1.	Leite die Funktion im Zähler $(x)$ und die Funktion im Nenner $n\left(x\right)$ einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. *Tipp:* Versuche im Zähler auszuklammern. Oftmals kann man kürzen.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$z\left(x\right)=$	$x^3+2$	$z^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$n\left(x\right)=$	$2x^2$	$n^\prime\left(x\right)=$	$4x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot 2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{\left(2x^2\right)^2}$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{4x^4}$

Ausklammern und kürzen:

$=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}$ 

Weiter vereinfachen:

$=\frac{x^3-4}{2x^3}$ 

Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss. Verwende die Regeln schrittweise von aussen nach innen.

Beispiele

$f\left(x\right)=3x\cdot \sqrt{7x^2+1}$

Schritt 1: Produktregel

$u\left(x\right)=3x$	$u^\prime\left(x\right)=3$
$v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}$	Verkettete Funktion

Schritt 2: Kettenregel für $v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))$

$a\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}$	$a^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$b\left(x\right)=7x^2+1$	$b^\prime\left(x\right)=14x$

Kettenregel zusammensetzen:

$v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}$

Produktregel zusammensetzen:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{3}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v^\prime(x)}$ 

Vereinfachen:

$f^\prime\left(x\right)=3\cdot \sqrt{7x^2+1}\cdot \frac{\sqrt{7x^2+1}}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{3\cdot (7x^2+1)}{\sqrt{7x^2+1}}+\frac{21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{21x^2+3+21x^2}{\sqrt{7x^2+1}}=\frac{42x^2+3}{\sqrt{7x^2+1}}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Teil 2

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Teil 3

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Teil 4

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Abkürzung

Optional

Teil 5

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann verwendet man die Produktregel?

Die Produktregel braucht man zum Ableiten von multiplizierten Funktionen.

Wie lautet die Produktregel?

Die Ableitung von dem Produkt u(x)v(x) ist u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Wann verwendet man die Kettenregel?

Die Kettenregel verwendet man, wenn Funktionen zusammengesetzt oder verkettet sind, also wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist.

Wie lautet die Kettenregel?

Die Ableitung der Verkettung u(v(x)) ist u'(v(x))v'(x).

Wann verwendet man die Quotientenregel?

Die Quotientenregel verwendet man, wenn Funktionen dividiert werden.

Wie lautet die Quotientenregel?

Die Ableitung des Quotienten z(x)/n(x) ist der Term z'(x)n(x)+z(x)n'(x) dividiert durch (n(x))^2.

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Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

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Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Trigonometrie

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Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

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Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

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Folgende Regeln dienen beim Ableiten von zusammengesetzten Funktionen.

Produktregel

Die Produktregeln verwendet man, wenn Funktionen multipliziert werden.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\prime\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}$

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1.	Leite die multiplizierten Funktionen einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. Tipp: Bei Funktionen mit $e^x$ kann man meist $e^x$ ausklammern.

Beispiel

$f\left(x\right)=\left(x^3-1\right)\cdot\left(2x^5+1\right)$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3-1$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$2x^5+1$	$v^\prime\left(x\right)=$	$10x^4$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\cdot \left(2x^5+1\right)+\left(x^3-1\right)\cdot 10x^4$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=6x^7+3x^2+10x^7-10x^4=16x^7-10x^4+3x^2$ 

Mehr als zwei Funktionen

Auch bei der Multiplikation von mehr als zwei Funktionen kann man die Produktregeln verwenden:

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)$	$\underbrace{u^\prime\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{erste\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)\cdot w\left(x\right)}_{zweite\ abgeleitet}+\underbrace{u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\cdot w^\prime\left(x\right)}_{dritte\ abgeleitet}$

Kettenregel

Die Kettenregeln verwendet man, wenn Funktionen verkettet sind. Das heisst, dass eine Funktion eine zweite Funktion umschliesst.

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$u\left(v\left(x\right)\right)$	$\underbrace{u^\prime \left(v\left(x\right)\right)}_{Äussere\ Ableitung} \cdot \underbrace{v^\prime \left(x\right)}_{Innere \ Ableitung}$

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1.	Leite die äussere Funktion $u(x)$ und innere Funktion $v(x)$ einzeln ab. *Tipp zur äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle der inneren Funktion ein $x$ . Leite dann ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen. *Tipp zur Ableitung der äusseren Funktion:* Notiere Dir an der Stelle des x die innere Funktion (unabgeleitet).
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Beispiel

$f(x)=(x^2-3)^3$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$u\left(x\right)=$	$x^3$	$u^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$v\left(x\right)=$	$x^2-3$	$v^\prime\left(x\right)=$	$2x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{{3\cdot \left(x^2-3\right)}^2}_{u^\prime(v\left(x\right))}\cdot \underbrace{2x}_{v^\prime(x)}$

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$={6x\cdot \left(x^2-3\right)}^2$

Quotientenregel

Die Quotientenregeln verwendet man, wenn Funktionen in einem Bruch stehen (dividiert werden).

Regel

Funktion $f\left(x\right)$	Ableitung $f^\prime\left(x\right)$
$\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}$	$\frac{z^\prime\left(x\right)\cdot n\left(x\right)-z\left(x\right)\cdot n^\prime\left(x\right)}{\left(n\left(x\right)\right)^2}$

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1.	Leite die Funktion im Zähler $(x)$ und die Funktion im Nenner $n\left(x\right)$ einzeln ab.
2.	Füge die Funktionen und deren Ableitungen entsprechend der Regel zusammen.
3.	Vereinfache den Term so weit wie möglich. *Tipp:* Versuche im Zähler auszuklammern. Oftmals kann man kürzen.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{x^3+2}{2x^2}$

Funktionen einzelnen ableiten:

Funktionen		Ableitung
$z\left(x\right)=$	$x^3+2$	$z^\prime\left(x\right)=$	$3x^2$
$n\left(x\right)=$	$2x^2$	$n^\prime\left(x\right)=$	$4x$

Zusammenstellung nach Regel:

$f^\prime\left(x\right)=\frac{3x^2\cdot 2x^2-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{\left(2x^2\right)^2}$ 

Zusammenrechnen und vereinfachen:

$=\frac{6x^4-\left(x^3+2\right)\cdot 4x}{4x^4}$

Ausklammern und kürzen:

$=\frac{2x\left(3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2\right)}{4x^4}=\frac{3x^3-\left(x^3+2\right)\cdot 2}{2x^3}=\ \frac{3x^3-2x^3-4}{2x^3}$ 

Weiter vereinfachen:

$=\frac{x^3-4}{2x^3}$ 

Vermischte Regeln

Oftmals sind Funktionen so zusammengesetzt, dass man mehrere Regeln beim Ableiten anwenden muss. Verwende die Regeln schrittweise von aussen nach innen.

Beispiele

$f\left(x\right)=3x\cdot \sqrt{7x^2+1}$

Schritt 1: Produktregel

$u\left(x\right)=3x$	$u^\prime\left(x\right)=3$
$v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}$	Verkettete Funktion

Schritt 2: Kettenregel für $v\left(x\right)=\sqrt{7x^2+1}=a(b\left(x\right))$

$a\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}$	$a^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$b\left(x\right)=7x^2+1$	$b^\prime\left(x\right)=14x$

Kettenregel zusammensetzen:

$v^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(7x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 14x={7x\left(7x^2+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}$

Produktregel zusammensetzen:

$f^\prime\left(x\right)=\underbrace{3}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{\sqrt{7x^2+1}}_{v(x)}+\underbrace{3x}_{u(x)}\cdot \underbrace{\frac{7x}{\sqrt{7x^2+1}}}_{v^\prime(x)}$ 

Vereinfachen:

Mehr dazu

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Teil 1

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Teil 2

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Teil 3

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Teil 4

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

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Optional

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann verwendet man die Produktregel?

Die Produktregel braucht man zum Ableiten von multiplizierten Funktionen.

Wie lautet die Produktregel?

Die Ableitung von dem Produkt u(x)v(x) ist u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Wann verwendet man die Kettenregel?

Die Kettenregel verwendet man, wenn Funktionen zusammengesetzt oder verkettet sind, also wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist.

Wie lautet die Kettenregel?

Die Ableitung der Verkettung u(v(x)) ist u'(v(x))v'(x).

Wann verwendet man die Quotientenregel?

Die Quotientenregel verwendet man, wenn Funktionen dividiert werden.

Wie lautet die Quotientenregel?

Die Ableitung des Quotienten z(x)/n(x) ist der Term z'(x)n(x)+z(x)n'(x) dividiert durch (n(x))^2.