Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Hintergrund

Oftmals kann man Aufgaben nicht direkt mit einer der Kombinatorik-Formeln lösen. Die Aufgaben beinhalten mehrere, miteinander verschachtelte Kombinatorik-Typen. Löse die Probleme einzeln und füge sie am Ende zusammen.

Vorgehen

1.	Identifiziere die unterschiedlichen Kombinationsprobleme der Aufgaben, welche man jeweils mit Kombinatorik-Formeln lösen kann.
2.	Berechne die Anzahl der Kombinationen für jedes einzelne Problem.
3.	Multipliziere die Kombinationsmöglichkeiten der einzelnen Probleme.

Beispiel

Es gibt 21 Konsonanten (K) und 5 Vokale (V). Wie viele fünfstellige Kombinationen in der Form KVKVK gibt es, wenn Konsonanten nur einmal verwendet werden können und Vokale mehrfach?

Kombinationsprobleme:

Problem 1: 5 Vokale auf 2 Positionen aufteilen

Mit Auswahl

Mit Reihenfolge

Mit Wiederholung

 Variation mit Wiederholung

$n$ : Anzahl Vokale $n=5$

$k$ : Anzahl Stellen $k=2$

$n^k=5^2=25$

Problem 2: 21 Konsonanten auf 3 Positionen aufteilen

Mit Auswahl

Mit Reihenfolge

Ohne Wiederholung

 Variation ohne Wiederholung

$n$ : Anzahl Konsonanten $n=21$

$k$ : Anzahl Stellen $k=3$

$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=\frac{21!}{\left(21-3\right)!}=7\ 980$

Kombination:

$25\cdot 7\ 980=\underline{199\ 500}$