Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Definition

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.

\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}

$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\\\end{matrix}\right)=\overrightarrow{n}$

1.	Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.
2.	Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.

Eigenschaften

$\overrightarrow{n}$ ist senkrecht (orthogonal) zu $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ .
Der Betrag von $\overrightarrow{n}$ ist der Flächeninhalt des von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Parallelogramms.
Für kollineare Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt: $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\ =\overrightarrow{0}$

Benötigt werden zwei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Dreiecks beschreiben.

Fläche des Dreiecks:

$F_{ABC}=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}{2}$

Hinweis: Es ist egal welche zwei Vektoren man wählt.

Volumen von einem Spat («schiefer Quader»)

Für die Berechnung benötigt man drei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Spats beschreiben.

$V=\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|$

$\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ : Seiten der Grundfläche

$\overrightarrow{c}$ : Beliebige Seitenkante

$V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{3}$

$\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ : Sind Seiten der Grundfläche

$\overrightarrow{c}$ : Beliebige Seitenkante

$V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{6}$