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Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

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Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Wichtige Additionstheoreme kennen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Definition

​Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.​



​a→×b→=n→\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}a×b=n​​
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Berechnung 

Formel:

a→×b→=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)=n→\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\\\end{matrix}\right)=\overrightarrow{n}a×b=​ay​bz​−az​by​az​bx​−ax​bz​ax​by​−ay​bx​​​=n​​


Trick für die Berechnung:  

1.

Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.

2.

Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.


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Eigenschaften 

  • ​n→\overrightarrow{n}n​ ist senkrecht (orthogonal) zu a→\overrightarrow{a}a​ und b→\overrightarrow{b}b​. 
  • Der Betrag von n→\overrightarrow{n}n​ ist der Flächeninhalt des von a→\overrightarrow{a}a​ und b→\overrightarrow{b}b aufgespannten Parallelogramms.  
  • Für kollineare Vektoren a→\overrightarrow{a}a​ und b→\overrightarrow{b}b​ gilt: a→×b→ =0→\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\ =\overrightarrow{0} a×b =0​​

​

Anwendungen des Vektorprodukts

Flächenformel für Dreiecke

Benötigt werden zwei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Dreiecks beschreiben.

Fläche des Dreiecks:

​FABC=∣a→×b→∣2F_{ABC}=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}{2}FABC​=2∣a×b∣​​​

Hinweis: Es ist egal welche zwei Vektoren man wählt.
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​

Spatvolumen (Parallelepiped)

Volumen von einem Spat («schiefer Quader»)

Für die Berechnung benötigt man drei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Spats beschreiben.

​V=∣(a→×b→)⋅c→∣V=\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|V=​(a×b)⋅c​​​

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

​

Pyramidenvolumen

VIERECKIGE GRUNDFLÄCHE

a→\overrightarrow{a}a​ und b→\overrightarrow{b}b​: Seiten der Grundfläche

c→\overrightarrow{c}c​: Beliebige Seitenkante

V=∣(a→×b→)⋅c→∣3V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{3}V=3​(a×b)⋅c​​​​
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DREIECKIGE GRUNDFLÄCHE

a→\overrightarrow{a}a​ und b→\overrightarrow{b}b​: Sind Seiten der Grundfläche

c→\overrightarrow{c}c​: Beliebige Seitenkante

​V=∣(a→×b→)⋅c→∣6V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{6}V=6​(a×b)⋅c​​​​
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Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Teil 1

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 2

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Teil 3

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 4

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Teil 5

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Vektorprodukt?

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen driteen Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.

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