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Vektorgeometrie

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Definition

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.



a×b=n\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}​​
Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Berechnung 

Formel:

a×b=(aybzazbyazbxaxbzaxbyaybx)=n\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\\\end{matrix}\right)=\overrightarrow{n}​​


Trick für die Berechnung:  

1.

Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.

2.

Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.


Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Eigenschaften 

  • n\overrightarrow{n}​ ist senkrecht (orthogonal) zu a\overrightarrow{a}​ und b\overrightarrow{b}​. 
  • Der Betrag von n\overrightarrow{n}​ ist der Flächeninhalt des von a\overrightarrow{a}​ und b\overrightarrow{b} aufgespannten Parallelogramms.  
  • Für kollineare Vektoren a\overrightarrow{a}​ und b\overrightarrow{b}​ gilt: a×b =0\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\ =\overrightarrow{0} ​​


Anwendungen des Vektorprodukts

Flächenformel für Dreiecke

Benötigt werden zwei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Dreiecks beschreiben.

Fläche des Dreiecks:

FABC=a×b2F_{ABC}=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}{2}​​

Hinweis: Es ist egal welche zwei Vektoren man wählt.

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Spatvolumen (Parallelepiped)

Volumen von einem Spat («schiefer Quader»)

Für die Berechnung benötigt man drei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Spats beschreiben.

V=(a×b)cV=\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|​​


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Pyramidenvolumen

VIERECKIGE GRUNDFLÄCHE

a\overrightarrow{a}​ und b\overrightarrow{b}: Seiten der Grundfläche

c\overrightarrow{c}​: Beliebige Seitenkante

V=(a×b)c3V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{3}​​

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DREIECKIGE GRUNDFLÄCHE

a\overrightarrow{a}​ und b\overrightarrow{b}: Sind Seiten der Grundfläche

c\overrightarrow{c}​: Beliebige Seitenkante

V=(a×b)c6V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{6}​​

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Vektorprodukt?

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