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Mathematik
Vektorgeometrie
Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung
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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.
a→×b→=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)=n→\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{matrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\\\end{matrix}\right)=\overrightarrow{n}a×b=aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx=n
1.
Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.
2.
Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.
Eigenschaften
Benötigt werden zwei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Dreiecks beschreiben.
Fläche des Dreiecks:
FABC=∣a→×b→∣2F_{ABC}=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}{2}FABC=2∣a×b∣
Hinweis: Es ist egal welche zwei Vektoren man wählt.
Volumen von einem Spat («schiefer Quader»)
Für die Berechnung benötigt man drei Vektoren, die zwei Aussenseiten des Spats beschreiben.
V=∣(a→×b→)⋅c→∣V=\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|V=(a×b)⋅c
a→\overrightarrow{a}a und b→\overrightarrow{b}b: Seiten der Grundfläche
c→\overrightarrow{c}c: Beliebige Seitenkante
V=∣(a→×b→)⋅c→∣3V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{3}V=3(a×b)⋅c
a→\overrightarrow{a}a und b→\overrightarrow{b}b: Sind Seiten der Grundfläche
V=∣(a→×b→)⋅c→∣6V=\dfrac{\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|}{6}V=6(a×b)⋅c
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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen driteen Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu beiden Vektoren ist.
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