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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).



Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

1.

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: p=n=u×v\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}
  • Stützpunkt A

Gegeben:

E:  x=p+su+tv, tRE:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}​​


A(xAyAzA)A(x_A|y_A|z_A)​​

2.

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

3.

Abstand d zwischen A und S bilden: d=ASd=\left|\vec{AS}\right|


Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

DA zu E=andnD_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right|}{\left|\vec{n}\right|}​​

n\vec{n}​​

Normalenvektor der Ebene E

dd​​

Konstante d der Ebene E

a\vec{a}​​

Ortsvektor des Punkt A



Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.


Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

1.

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: : u=nE:\ \vec{u}= \vec{n_E}
  • Stützpunkt Q
g:   x=0Q+tnE,    tRg:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}​​
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

2.

Streckfaktor tst_s des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

3.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

 0Q=0Q+2tSnE\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.






Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

  • Frage: Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

    Antwort: Bilden einer senkrechten Hilfsgeraden g durch den Punkt. Schnittpunkt von g mit Ebene bestimmen. Vektor vom Punkt bis zum Schnittpunkt verdoppeln.

  • Frage: Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

    Antwort: Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Hess'sche Normalform der Ebene ein.

  • Frage: Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

    Antwort: Mit dem Abstand ist immer die kürzeste Strecke des Punktes zur Ebene gemeint.

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