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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).



Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

1.

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: p⃗=n⃗=u⃗×v⃗\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}​
  • Stützpunkt A

Gegeben:

E:  x⃗=p⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗, t∈RE:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}​​


A(xA∣yA∣zA)A(x_A|y_A|z_A)​​

2.

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

3.

Abstand d zwischen A und S bilden: d=∣AS⃗∣d=\left|\vec{AS}\right|​


Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

​DA zu E=∣a⃗⋅n⃗−d∣∣n⃗∣D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right|}{\left|\vec{n}\right|}​​

​n⃗\vec{n}​​

Normalenvektor der Ebene E

​dd​​

Konstante d der Ebene E

​a⃗\vec{a}​​

Ortsvektor des Punkt A

​


Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.


Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

1.

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: : u⃗=nE⃗:\ \vec{u}= \vec{n_E}​
  • Stützpunkt Q
​g:   x⃗=0Q⃗+t⋅nE⃗,    t∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}​​
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

2.

Streckfaktor tst_s​ des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

3.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

 0Q′⃗=0Q⃗+2⋅tS⋅nE⃗\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.






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Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

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