Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

Bilden einer senkrechten Hilfsgeraden g durch den Punkt. Schnittpunkt von g mit Ebene bestimmen. Vektor vom Punkt bis zum Schnittpunkt verdoppeln.

Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Hess'sche Normalform der Ebene ein.

Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

Mit dem Abstand ist immer die kürzeste Strecke des Punktes zur Ebene gemeint.

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Lernziele

Mathematik

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Mathe_Matura_02VG_03_Ebenen_05_Ebene-Punkt 0

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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).

Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$
Stützpunkt A

Gegeben:

$E:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

Abstand d zwischen A und S bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

$D_{A\ zu\ E}=\frac{\left\|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right\|}{\left\|\vec{n}\right\|}$	$\vec{n}$	Normalenvektor der Ebene E
	$d$	Konstante d der Ebene E
	$\vec{a}$	Ortsvektor des Punkt A

Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.

Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $:\ \vec{u}= \vec{n_E}$
Stützpunkt Q

g:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

$\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}$

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).

Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$
Stützpunkt A

Gegeben:

$E:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

Abstand d zwischen A und S bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

$D_{A\ zu\ E}=\frac{\left\|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right\|}{\left\|\vec{n}\right\|}$	$\vec{n}$	Normalenvektor der Ebene E
	$d$	Konstante d der Ebene E
	$\vec{a}$	Ortsvektor des Punkt A

Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.

Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $:\ \vec{u}= \vec{n_E}$
Stützpunkt Q

g:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}

Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

$\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}$

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

Antwort: Bilden einer senkrechten Hilfsgeraden g durch den Punkt. Schnittpunkt von g mit Ebene bestimmen. Vektor vom Punkt bis zum Schnittpunkt verdoppeln.
Frage: Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

Antwort: Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Hess'sche Normalform der Ebene ein.
Frage: Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

Antwort: Mit dem Abstand ist immer die kürzeste Strecke des Punktes zur Ebene gemeint.

Theorie

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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Reflektion Punkt an einer Ebene

Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Reflektion Punkt an einer Ebene

Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

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Ich habe die Theorie verstanden.