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Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

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Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Lagebeziehungen zwischen Ebenen

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Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

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Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).

Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$
Stützpunkt A

Gegeben:

$E:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

Abstand d zwischen A und S bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

$D_{A\ zu\ E}=\frac{\left\|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right\|}{\left\|\vec{n}\right\|}$	$\vec{n}$	Normalenvektor der Ebene E
	$d$	Konstante d der Ebene E
	$\vec{a}$	Ortsvektor des Punkt A

Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.

Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor: $:\ \vec{u}= \vec{n_E}$
Stützpunkt Q

g:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

$\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}$

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 2

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Abkürzung

Optional

Teil 3

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

Bilden einer senkrechten Hilfsgeraden g durch den Punkt. Schnittpunkt von g mit Ebene bestimmen. Vektor vom Punkt bis zum Schnittpunkt verdoppeln.

Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Hess'sche Normalform der Ebene ein.

Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

Mit dem Abstand ist immer die kürzeste Strecke des Punktes zur Ebene gemeint.