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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Abstand eines Punkt zur Ebene

Abstand von Punkt A zur Ebene E (kürzeste Strecke).



Mit Hilfe einer Hilfsgeraden (ohne Hess'sche Normalform)

VORGEHEN

1.

Hilfsgerade g bilden. g durch A und senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: p⃗=n⃗=u⃗×v⃗\vec{p}=\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}p​=n=u×v​
  • Stützpunkt A

Gegeben:

E:  x⃗=p⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗, t∈RE:\ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\ t\in\mathbb{R}E:  x=p​+s⋅u+t⋅v, t∈R​​


A(xA∣yA∣zA)A(x_A|y_A|z_A)A(xA​∣yA​∣zA​)​​

2.

Schnittpunkt S zwischen E und g bilden.

3.

Abstand d zwischen A und S bilden: d=∣AS⃗∣d=\left|\vec{AS}\right|d=​AS​​


Mit Hilfe der Hess'sche Normalform

Setze die Elemente in die Formel ein und berechne den Abstand

​DA zu E=∣a⃗⋅n⃗−d∣∣n⃗∣D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\vec{a}\cdot\vec{n}-d\right|}{\left|\vec{n}\right|}DA zu E​=∣n∣∣a⋅n−d∣​​​

​n⃗\vec{n}n​​

Normalenvektor der Ebene E

​ddd​​

Konstante d der Ebene E

​a⃗\vec{a}a​​

Ortsvektor des Punkt A

​


Reflektion Punkt an einer Ebene

Spiegle einen Punkt Q an einer Ebene E und bestimme die Koordinaten des Reflektionspunkts Q’.


Vorgehen mit einer Hilfsgeraden

1.

Bilde eine Gerade g durch Q senkrecht zu E:

  • Richtungsvektor: : u⃗=nE⃗:\ \vec{u}= \vec{n_E}: u=nE​​​
  • Stützpunkt Q
​g:   x⃗=0Q⃗+t⋅nE⃗,    t∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}g:   x=0Q​+t⋅nE​​,    t∈R​​
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

2.

Streckfaktor tst_sts​​ des Schnittpunkts zwischen E und g berechnen.

3.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen

 0Q′⃗=0Q⃗+2⋅tS⋅nE⃗\vec{0Q\prime}=\vec{0Q}+2\cdot t_S\cdot\vec{n_E}0Q′​=0Q​+2⋅tS​⋅nE​​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.






Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 2

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Teil 3

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich einen Punkt an einer Ebene spiegeln?

Bilden einer senkrechten Hilfsgeraden g durch den Punkt. Schnittpunkt von g mit Ebene bestimmen. Vektor vom Punkt bis zum Schnittpunkt verdoppeln.

Wie weit ist ein Punkt von einer Ebene entfernt?

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Hess'sche Normalform der Ebene ein.

Was ist mit Abstand eines Punktes zur Ebene gemeint?

Mit dem Abstand ist immer die kürzeste Strecke des Punktes zur Ebene gemeint.

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