Grenzwerte und Asymptoten bestimmen Definition Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion gegen:
die positive (+) und negative (–) Unendlichkeit; senkrechte Asymptoten (Einschränkungen des Definitionsbereichs).
Grenzwerte und Asymptoten von Basisfunktionen Funktion Äussere Grenzen Asymptote bei x = 0 x=0 x = 0 − ∞ - \infin − ∞ + ∞ + \infin + ∞ 0 − 0^- 0 − 0 + 0^+ 0 + Potenzfunktion x , x 3 , x 5 , … x,\ x^3,\ x^5,\ \ldots x , x 3 , x 5 , …
(ungerade Exponenten)
− ∞ - \infin − ∞
+ ∞ + \infin + ∞
-
-
x 2 , x 4 , x 6 … x^2,\ x^4,{\ x}^6\ \ldots x 2 , x 4 , x 6 …
(gerade Exponenten)
+ ∞ + \infin + ∞
+ ∞ + \infin + ∞
-
-
Bruchfunktion (Hyperbel) 1 x , 1 x 3 , 1 x 5 , … \frac{1}{x},\ \frac{1}{x^3},\ \frac{1}{x^5},\ \ldots x 1 , x 3 1 , x 5 1 , …
(ungerade Exponenten)
0 − 0^- 0 −
0 + 0^+ 0 +
− ∞ - \infin − ∞
+ ∞ + \infin + ∞
1 x 2 , 1 x 4 , 1 x 6 … \frac{1}{x^2},\ \frac{1}{x^4},\frac{1}{x^6}\ \ldots x 2 1 , x 4 1 , x 6 1 …
(gerade Exponenten)
0 + 0^+ 0 +
0 − 0^- 0 −
+ ∞ + \infin + ∞
+ ∞ + \infin + ∞
Wurzelfunktion x 3 , x 5 , x 7 , … \sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ \ldots 3 x , 5 x , 7 x , …
(ungerade Exponenten)
− ∞ - \infin − ∞
+ ∞ + \infin + ∞
-
-
x , x 4 , x 6 … \sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x}\ \ldots x , 4 x , 6 x …
(gerade Exponenten)
-
+ ∞ + \infin + ∞
-
-
( 0 = 0 ) (\sqrt0=0) ( 0 = 0 )
Exponentialfunktion a x a^x a x a a a a > 1 , e x a>1, e^x a > 1 , e x
0 + 0^+ 0 +
+ ∞ + \infin + ∞
-
-
1 > a > 0 1>a>0 1 > a > 0
+ ∞ + \infin + ∞
0 + 0^+ 0 +
-
-
Logarithmus l o g a ( x ) log_a(x) l o g a ( x ) a > 1 , l n ( x ) a>1, ln\left(x\right) a > 1 , l n ( x )
n.a.
+ ∞ + \infin + ∞
-
− ∞ - \infin − ∞
1 > a > 0 1>a>0 1 > a > 0
n.a.
+ ∞ + \infin + ∞
-
+ ∞ + \infin + ∞
Sinus s i n ( x ) sin\left(x\right) s in ( x )
-
-
-
-
Kosinus c o s ( x ) cos\left(x\right) cos ( x )
-
-
-
-
Hinweis: «n.a.» heisst, dass die Funktion nicht anwendbar ist, da nicht Teil des Definitionsbereichs.
Grenzwerte von allgemeinen Funktionen Meist sind Funktionen aus verschiedenen Basisfunktionen zusammengesetzt. Die jeweiligen Grenzwerte sind abhängig von ihrem Zusammenspiel.
Grenzwerte bestimmen VORGEHEN 1.
Überlege anhand des Definitionsbereichs, welche Grenzwerte geprüft werden müssen:
Kleinster Wert des Definitionsbereichs? Meist − ∞ -\infty − ∞ Grösster Wert des Definitionsbereichs? Meist + ∞ +\infty + ∞ Lücken im Definitionsbereich? Senkrechte Asymptote an einem x x x 2.
Führe jeden Grenzwert aus:
Überlege für jeden Teil des Terms, zu welchen Wert dieser strebt. Führe die Terme zusammen. Achte hier auf die Dominanz von Basisfunktionen.
Beispiel Grenzwerte von
f ( x ) = x 4 + 1 f\left(x\right)=x^4+1 f ( x ) = x 4 + 1
Definitionsbereich:
D = R \mathbb{D}=\mathbb{R} D = R
Kleinster Wert: -\infty
lim x → − ∞ ( x 4 + 1 ) ≈ ∞ + 1 = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+1\right)\approx\infty+1=\infty x → − ∞ lim ( x 4 + 1 ) ≈ ∞ + 1 = ∞
Grösster Wert: \infty
lim x → + ∞ ( x 4 + 1 ) ≈ ∞ + 1 = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4+1\right)\approx\infty+1=\infty x → + ∞ lim ( x 4 + 1 ) ≈ ∞ + 1 = ∞
Dominanz von Basisfunktionen Erhält man folgende Aussagen, muss man die Dominanz von Funktionen prüfen, um den gemeinsamen Grenzwert zu bestimmen:
± ∞ ± ∞ o d e r 0 0 o d e r ± ∞ ⋅ 0 o d e r ∞ − ∞ \frac{\pm\infty}{\pm\infty}\ oder\ \frac{0}{0}\ oder\ \pm\infty\cdot 0\ oder\ \infty-\infty ± ∞ ± ∞ o d er 0 0 o d er ± ∞ ⋅ 0 o d er ∞ − ∞
Der dominante Teil entscheidet das Verhalten.
± ∞ \pm\infty ± ∞ (Von langsam zu schnell)
l o g ( x ) log(x) l o g ( x )
⟶ \longrightarrow ⟶
x \sqrt{x} x
⟶ \longrightarrow ⟶ x n − 1 x^{n-1} x n − 1
⟶ \longrightarrow ⟶ x n x^n x n
⟶ \longrightarrow ⟶
a x a^x a x
l n ( x ) ln(x) l n ( x )
e x e^x e x
Hinweis 1: n n n
Hinweis 2: a a a 1 1 1 a > 1 a>1 a > 1
Beispiele lim x → ∞ ( l n ( x ) x ) = ∞ ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{ln{\left(x\right)}}{\sqrt x}\right)}=\frac{\infty}{\infty} x → ∞ lim ( x l n ( x ) ) = ∞ ∞
lim x → ∞ ( x 5 x 3 + 1 ) = ∞ ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^5}{x^3+1}\right)}=\frac{\infty}{\infty} x → ∞ lim ( x 3 + 1 x 5 ) = ∞ ∞
lim x → ∞ ( e x − x 100 ) = ∞ − ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^x-x^{100}\right)}=\infty-\infty x → ∞ lim ( e x − x 100 ) = ∞ − ∞
Der Nenner mit x \sqrt x x wächst schneller.
Daher gilt:
lim x → ∞ ( l n ( x ) x ) = 0 \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{ln{\left(x\right)}}{\sqrt x}\right)}=0 x → ∞ lim ( x l n ( x ) ) = 0
Der Zähler mit x 5 x^5 x 5 wächst schneller.
Daher gilt: lim x → ∞ ( x 5 x 3 + 1 ) = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^5}{x^3+1}\right)}=\infty x → ∞ lim ( x 3 + 1 x 5 ) = ∞
Der Term e x e^x e x wächst schneller.
Daher gilt: lim x → ∞ ( e x − x 100 ) = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^x-x^{100}\right)}=\infty x → ∞ lim ( e x − x 100 ) = ∞
GRENZWERTE VON ALLGEMEINEN FUNKTIONEN Beispiele Grenzwerte von
f ( x ) = e x x − 2 f\left(x\right)=\frac{e^x}{x-2} f ( x ) = x − 2 e x
Definitionsbereich:
D = R \ { 2 } \mathbb{D}=\mathbb{R} \backslash\{2\} D = R \ { 2 }
Grenzwerte zu prüfen:
Kleinster Wert: − ∞ -\infty − ∞
lim x → − ∞ ( e x x − 2 ) ≈ 0 − ∞ = 0 − \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{0}{-\infty}=0^- x → − ∞ lim ( x − 2 e x ) ≈ − ∞ 0 = 0 −
Nullstelle von links: 2 − 2^- 2 −
lim x → 2 − ( e x x − 2 ) ≈ e 2 0 − = − ∞ \lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{e^2}{0^-}=-\infty x → 2 − lim ( x − 2 e x ) ≈ 0 − e 2 = − ∞
Nullstelle von rechts: 2 + 2^+ 2 +
lim x → 2 + ( e x x − 2 ) ≈ e 2 0 + = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{e^2}{0^+}=\infty x → 2 + lim ( x − 2 e x ) ≈ 0 + e 2 = ∞
Grösster Wert: + ∞ +\infty + ∞
lim x → ∞ ( e x x − 2 ) ≈ ∞ ∞ = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{\infty}{\infty}=\infty x → ∞ lim ( x − 2 e x ) ≈ ∞ ∞ = ∞ e x e^x e x
Asymptoten und Lücken Waagerechte Asymptoten
Asymptoten parallel zur x x x -Achse (Unendliche Grenzwerte)
Senkrechte Asymptoten
Eine nicht kürzbare Nullstelle des Nenners.
Lücke
Unterbrechung in einem Punkt der Funktion.
Eine kürzbare Nullstelle des Nenners.
Beispiel f ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ 3 ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot 3}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)} f ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ( x − 2 ) ⋅ 3
Nullstellen des Nenners: x = 1 x=1 x = 1 x = 2 x=2 x = 2
Art der Nullstelle:
f ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ 3 ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) = 3 ( x − 1 ) f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot 3}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x-1\right)} f ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ( x − 2 ) ⋅ 3 = ( x − 1 ) 3
x = 1 x=1 x = 1 ⟶ \longrightarrow ⟶
x = 2 x=2 x = 2 ⟶ \longrightarrow ⟶
Unendliche Grenzwerte: lim x → ± ∞ ( … ) = 0 \lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}{\left(\ldots\right)}=0 x → ± ∞ lim ( … ) = 0 ⟶ \longrightarrow ⟶
Grenzwerte gegen ∞ \infty ∞ − ∞ -\infty − ∞ Vorgehen 1.
Limes − ∞ -\infty − ∞
2.
Höchste Potenz ausklammern.
3.
− ∞ -\infty − ∞
4.
Gleiches für Limes in + ∞ +\infty + ∞
Beispiel
f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 3 x 3 + 2 f\left(x\right)=\frac{2x^2+4x}{3x^3+2} f ( x ) = 3 x 3 + 2 2 x 2 + 4 x
Grenzwert gegen − ∞ -\infty − ∞ lim x → − ∞ ( 2 x 2 + 4 x 3 x 3 + 2 ) = lim x → − ∞ ( 2 + 4 x 3 + 2 x 3 ⋅ x 2 x 3 ) = lim x → − ∞ ( 2 + 4 x 3 + 2 x 3 ⋅ 1 x ) = 2 + 0 3 + 0 ⋅ ( 0 − ) = 0 − \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0}\cdot\left(0^-\right)=0^- x → − ∞ lim ( 3 x 3 + 2 2 x 2 + 4 x ) = x → − ∞ lim ( 3 + x 3 2 2 + x 4 ⋅ x 3 x 2 ) = x → − ∞ lim ( 3 + x 3 2 2 + x 4 ⋅ x 1 ) = 3 + 0 2 + 0 ⋅ ( 0 − ) = 0 − Grenzwert gegen + ∞ +\infty + ∞ lim x → + ∞ ( 2 x 2 + 4 x 3 x 3 + 2 ) = lim x → + ∞ ( 2 + 4 x 3 + 2 x 3 ⋅ x 2 x 3 ) = lim x → + ∞ ( 2 + 4 x 3 + 2 x 3 ⋅ 1 x ) = 2 + 0 3 + 0 ⋅ 0 + = 0 + \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0}\cdot0^+=0^+ x → + ∞ lim ( 3 x 3 + 2 2 x 2 + 4 x ) = x → + ∞ lim ( 3 + x 3 2 2 + x 4 ⋅ x 3 x 2 ) = x → + ∞ lim ( 3 + x 3 2 2 + x 4 ⋅ x 1 ) = 3 + 0 2 + 0 ⋅ 0 + = 0 +
