Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung und umgekehrt verändert.

Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad von negativen $x$ -Werten hin zu positiven $x$ -Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten Wendepunkt nach links lenken.

Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:

VORGEHEN

1.

Bestimme die zweite und die dritte Ableitung: $f''\left(x\right) und f'''\left(x\right)$

2.

«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen $x_W$ der zweiten Ableitung.

$f^{\prime\prime}\left(x\right)=0$

Die $x$ -Werte der Nullstellen sind potentielle Wendestellen.

3.

«Hinreichende Bedingung»:Setze die erhaltenen $x$ -Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:

$f'''\left(x_W\right)>0$	$\longrightarrow$	Rechts-links-Wendestelle
$f'''\left(x_W\right)<0$	$\longrightarrow$	Links-rechts-Wendestelle
$f'''\left(x_W\right)=0$	$\longrightarrow$	Keine Wendestelle

4.

$y$ -Werte berechnen:
Wendestellen $x_W$ in $f(x)$ einsetzen, um die zugehörigen $y$ -Werte zu erhalten.

Beispiel

Bestimme die Wendestelle der Funktion: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Ableitungen:

Erste Ableitung:  $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$

Zweite Ableitung: $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$

Dritte Ableitung: $f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6$

Notwendige Bedingung: $f''\left(x\right)=0$

$6x-6=0$

Auflösen:

$x_W=1$

Hinreichende Bedingung: $f''' \left(x\right)\neq0$

$x_W=1$  prüfen: $f'''\left(1\right)=6$ $\longrightarrow$  Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige $y$ -Werte:

$f\left(1\right)=16$

Wendepunkt: $W\left(1\middle|16\right)$