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Zusammenfassung

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition 

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung und umgekehrt verändert. 


Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad von negativen xxx​-Werten hin zu positiven xxx-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten Wendepunkt nach links lenken. 


Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Wendepunkte bestimmen und unterscheiden


Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:


VORGEHEN

1.

​Bestimme die zweite und die dritte Ableitung: f′′(x)undf′′′(x)f''\left(x\right) und f'''\left(x\right)f′′(x)undf′′′(x)​​

2.

​«Notwendige Bedingung»:  Berechne die Nullstellen xWx_WxW​​ der zweiten Ableitung. 

​f′′(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0 f′′(x)=0​​

Die xxx​-Werte der Nullstellen sind potentielle Wendestellen.

3.

​«Hinreichende Bedingung»:Setze die erhaltenen xxx​-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:

​f′′′(xW)>0f'''\left(x_W\right)>0 f′′′(xW​)>0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

Rechts-links-Wendestelle

​f′′′(xW)<0f'''\left(x_W\right)<0f′′′(xW​)<0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

​Links-rechts-Wendestelle

​f′′′(xW)=0f'''\left(x_W\right)=0f′′′(xW​)=0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

​Keine Wendestelle

4.

​yyy​-Werte berechnen:
Wendestellen xWx_WxW​​ in f(x)f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yyy​-Werte zu erhalten.



Beispiel 

Bestimme die Wendestelle der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27 f(x)=x3−3x2−9x+27​​


Ableitungen: 

Erste Ableitung: ​f′(x)=3x2−6x−9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9 f′(x)=3x2−6x−9​

Zweite Ableitung:  f′′(x)=6x−6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6  f′′(x)=6x−6​​

Dritte Ableitung: f′′′(x)=6f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6 f′′′(x)=6​​


Notwendige Bedingung: f′′(x)=0f''\left(x\right)=0 f′′(x)=0​​

6x−6=06x-6=0 6x−6=0​​

Auflösen: 

xW=1x_W=1 xW​=1​​

Hinreichende Bedingung: f′′′(x)≠0f''' \left(x\right)\neq0f′′′(x)=0​ 

xW=1x_W=1xW​=1​ prüfen: f′′′(1)=6f'''\left(1\right)=6f′′′(1)=6​ ⟶\longrightarrow⟶​ Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige yyy​-Werte: 

f(1)=16f\left(1\right)=16 f(1)=16​​

Wendepunkt: W(1|16)W\left(1\middle|16\right) W(1∣16)​​

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Teil 1

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Teil 2

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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimme ich Wendepunkte?

1. Bestimme die zweite und die dritte Ableitung. 2. Berechne die Nullstellen x_W der zweiten Ableitung, also die x-Koordinaten der potentiellen Wendepunkte. 3. Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe: f'''(x_W ) > 0 Rechts-links-Wendestelle f'''(x_W ) < 0 Links-rechts-Wendestelle f'''(x_W ) = 0 Keine Wendestelle 4. y-Werte berechnen.

Wie nennt man die x-Koordinate des Wendepunkts?

Die x-Koordinate des Wendepunktes nennt man Wendestelle.

Was sind Wendepunkte?

Wendepunkte bzw. Wendestellen sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt verändert.

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