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Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

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Zusammenfassung

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition 

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung und umgekehrt verändert. 


Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad von negativen xx​-Werten hin zu positiven xx-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten Wendepunkt nach links lenken. 


Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Wendepunkte bestimmen und unterscheiden


Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:


VORGEHEN

1.

​Bestimme die zweite und die dritte Ableitung: f(x)undf(x)f''\left(x\right) und f'''\left(x\right)​​

2.

​«Notwendige Bedingung»:  Berechne die Nullstellen xWx_W​ der zweiten Ableitung. 

f(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0 ​​

Die xx​-Werte der Nullstellen sind potentielle Wendestellen.

3.

​«Hinreichende Bedingung»:Setze die erhaltenen xx​-Werte einzeln in die dritte Ableitung ein und prüfe:

f(xW)>0f'''\left(x_W\right)>0 ​​

\longrightarrow​​

Rechts-links-Wendestelle

f(xW)<0f'''\left(x_W\right)<0​​

\longrightarrow​​

​Links-rechts-Wendestelle

f(xW)=0f'''\left(x_W\right)=0​​

\longrightarrow​​

​Keine Wendestelle

4.

yy​-Werte berechnen:
Wendestellen xWx_W​ in f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yy​-Werte zu erhalten.



Beispiel 

Bestimme die Wendestelle der Funktion: f(x)=x33x29x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27 ​​


Ableitungen: 

Erste Ableitung: f(x)=3x26x9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9

Zweite Ableitung:  f(x)=6x6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6 ​​

Dritte Ableitung: f(x)=6f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6 ​​


Notwendige Bedingung: f(x)=0f''\left(x\right)=0 ​​

6x6=06x-6=0 ​​

Auflösen: 

xW=1x_W=1 ​​

Hinreichende Bedingung: f(x)0f''' \left(x\right)\neq0​ 

xW=1x_W=1​ prüfen: f(1)=6f'''\left(1\right)=6​ \longrightarrow​ Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige yy​-Werte: 

f(1)=16f\left(1\right)=16 ​​

Wendepunkt: W(1|16)W\left(1\middle|16\right) ​​

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimme ich Wendepunkte?

Wie nennt man die x-Koordinate des Wendepunkts?

Was sind Wendepunkte?

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