Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Definition 

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung des Graphen von einer Links- zu einer Rechtskrümmung und umgekehrt verändert. 

Tipp: Würde man den Graphen mit dem Fahrrad von negativen $$x$$​-Werten hin zu positiven $$x$$-Werten abfahren, so müsste man den Lenker im ersten Wendepunkt nach rechts einschlagen und im zweiten Wendepunkt nach links lenken. 

Wendepunkte bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die Wendepunkte:

VORGEHEN

Beispiel 

Bestimme die Wendestelle der Funktion: $$f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$$​​

Ableitungen: 

Erste Ableitung: ​$$f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$$​

Zweite Ableitung: $$\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$$​​

Dritte Ableitung: $$f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=6$$​​

Notwendige Bedingung: $$f''\left(x\right)=0$$​​

$$6x-6=0$$​​

Auflösen: 

$$x_W=1$$​​

Hinreichende Bedingung: $$f''' \left(x\right)\neq0$$​ 

$$x_W=1$$​ prüfen: $$f'''\left(1\right)=6$$​ $$\longrightarrow$$​ Rechts-links-Wendestelle

Zugehörige $$y$$​-Werte: 

$$f\left(1\right)=16$$​​

Wendepunkt: $$W\left(1\middle|16\right)$$​​