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Integralrechnung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Mit dem Integral kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Intervall berechnen. 

Liegt der Graph über der xx​-Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben. 

Liegt der Graph unter der xx​-Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.


Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


Hinweis: Das Integral berechnet die Differenz der Flächeninhalte ober- und unterhalb der xx​-Achse. Die tatsächliche eingeschlossene Fläche bestimmt man aus den Beträgen der einzelnen Flächenstücke.

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der xx​-Achse in einem Intervall berechnen.

VORGEHEN

1.

​Berechne die Nullstellen.

2.

​Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:
Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.
Tipp: Ist nicht bekannt, ob die Funktion in einem Intervall über oder unter der Achse liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

3.

Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.


Skizze

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


Fläche:

oder

A=0af(x)dxA1abf(x)dxA2+bcf(x)dxA3A=\underbrace{\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}_{A_2}\underbrace{+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx}_{A_3}​​

A=0af(x)dxA1+abf(x)dxA2+bcf(x)dxA3A=\underbrace{\left|\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|}_{A_2}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\right|}_{A_3}​​



Flächeninhalt zwischen zwei Graphen 

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man von der Differenz der Funktionen das Integral bilden. 


A=ab(f(x)g(x))dxA=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx​​

  • Liegt f(x)f\left(x\right)​ über g(x)g\left(x\right)​, wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben. 
  • Liegt f(x)f\left(x\right)​ unter g(x)g\left(x\right)​, wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.
Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


Vorgehen

1.

​Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

2.

​Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf: 

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt. 

Jedes Integral hat die Form: ab(f(x)g(x))dx\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx​​

Tipp: Ist nicht bekannt, ob eine Funktion in einem Intervall über oder unter der anderen Funktion liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

3.

​Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.


Skizze

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse


Fläche:

oder

A=ab(f(x)g(x))dxA1bc(f(x)g(x))dxA2A=\underbrace{\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_2}​​

A=ab(f(x)g(x))dxA1+bc(f(x)g(x))dxA2A=\underbrace{\left|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|}_{A_1}\underbrace{+\left|\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right|}_{A_2}​​







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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Was muss man beachten, wenn man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen möchte?

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