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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

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Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Mit dem Integral kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Intervall berechnen.

Liegt der Graph über der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.

Liegt der Graph unter der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Hinweis: Das Integral berechnet die Differenz der Flächeninhalte ober- und unterhalb der $x$ -Achse. Die tatsächliche eingeschlossene Fläche bestimmt man aus den Beträgen der einzelnen Flächenstücke.

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der $x$ -Achse in einem Intervall berechnen.

VORGEHEN

1.	Berechne die Nullstellen.
2.	Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf: Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt. *Tipp:* Ist nicht bekannt, ob die Funktion in einem Intervall über oder unter der Achse liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.
3.	Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.

Skizze

Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}_{A_2}\underbrace{+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx}_{A_3}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_2}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_3}$

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man von der Differenz der Funktionen das Integral bilden.

$A=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Liegt $f\left(x\right)$ über $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.
Liegt $f\left(x\right)$ unter $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

Vorgehen

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.

Jedes Integral hat die Form: $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Tipp: Ist nicht bekannt, ob eine Funktion in einem Intervall über oder unter der anderen Funktion liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.

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Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_2}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_2}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Teil 2

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

Abkürzung

Optional

Teil 4

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse, so ist der Wert der Integrals positiv.

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ.

Was muss man beachten, wenn man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen möchte?

Möchte man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen, muss man beachten, ob der Graph die x-Achse schneidet. Ist dies der Fall, so muss man die Fläche intervallweise zwischen den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse berechnen und die Beträge der einzelnen Flächen addieren, um die Gesamtfläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zu erhalten.

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Mit dem Integral kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Intervall berechnen.

Liegt der Graph über der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.

Liegt der Graph unter der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

VORGEHEN

1.	Berechne die Nullstellen.
2.	Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf: Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt. *Tipp:* Ist nicht bekannt, ob die Funktion in einem Intervall über oder unter der Achse liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.
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Skizze

Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}_{A_2}\underbrace{+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx}_{A_3}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_2}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_3}$

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Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man von der Differenz der Funktionen das Integral bilden.

$A=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Liegt $f\left(x\right)$ über $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.
Liegt $f\left(x\right)$ unter $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

Vorgehen

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.

Jedes Integral hat die Form: $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Tipp: Ist nicht bekannt, ob eine Funktion in einem Intervall über oder unter der anderen Funktion liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.

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Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_2}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_2}$

Mehr dazu

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Teil 1

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

Abkürzung

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse, so ist der Wert der Integrals positiv.

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ.