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Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Lehrperson: Manuel Kant

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Mit dem Integral kann man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem Intervall berechnen.

Liegt der Graph über der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.

Liegt der Graph unter der $x$ -Achse, wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Hinweis: Das Integral berechnet die Differenz der Flächeninhalte ober- und unterhalb der $x$ -Achse. Die tatsächliche eingeschlossene Fläche bestimmt man aus den Beträgen der einzelnen Flächenstücke.

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der $x$ -Achse in einem Intervall berechnen.

VORGEHEN

1.	Berechne die Nullstellen.
2.	Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf: Liegen Nullstellen innerhalb des Intervalls, muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt. *Tipp:* Ist nicht bekannt, ob die Funktion in einem Intervall über oder unter der Achse liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.
3.	Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.

Skizze

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}_{A_2}\underbrace{+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx}_{A_3}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_2}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\right\|}_{A_3}$

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Oftmals muss man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen in einem Intervall berechnen. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man von der Differenz der Funktionen das Integral bilden.

$A=\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Liegt $f\left(x\right)$ über $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral positiv ausgegeben.
Liegt $f\left(x\right)$ unter $g\left(x\right)$ , wird der Wert der Fläche vom Integral negativ ausgegeben.

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Vorgehen

1.

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen.

2.

Bestimme die Integralgrenzen und stelle die Integrale auf:

Existieren Schnittpunkte innerhalb des Intervalls, so muss man mehrere Integrale aufstellen. Für jedes Intervall wird ein eigenes Integral erstellt.

Jedes Integral hat die Form: $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Tipp: Ist nicht bekannt, ob eine Funktion in einem Intervall über oder unter der anderen Funktion liegt, setze einen Betrag um die einzelnen Integrale.

3.

Berechne die einzelnen Integrale addieren die Ergebnisse.

Skizze

Mathematik; Integration; Passerelle; Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Fläche:	oder
$A=\underbrace{\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx}_{A_2}$	$A=\underbrace{\left\|\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_1}\underbrace{+\left\|\int_{b}^{c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx\right\|}_{A_2}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!

Dauer:

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Teil 1

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 2

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Herleitung der Integralrechnung

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

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Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig über der x-Achse, so ist der Wert der Integrals positiv.

Welches Vorzeichen hat das Ergebnis eines Integrals, wenn der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse liegt?

Liegt der Graph einer Funktion vollständig unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ.

Was muss man beachten, wenn man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen möchte?

Möchte man die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen, muss man beachten, ob der Graph die x-Achse schneidet. Ist dies der Fall, so muss man die Fläche intervallweise zwischen den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse berechnen und die Beträge der einzelnen Flächen addieren, um die Gesamtfläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zu erhalten.

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