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Mathematik

Gerade

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

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Differentialrechnung

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Kurvenscharen und Ortskurve

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Rotationsvolumen: Definition und Formel

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Kreise und Kugeln

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

Kugel und Ebene: Lagebeziehungen und Aufgaben

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

Stochastik

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung

Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment

Statistik

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Folgen und Reihen

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Matrizen

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Kürzester Abstand von Punkt zu Geraden

Variante 1: Mit dem Skalarprodukt

Der Lotpunkt $L$ ist der Punkt auf der Gerade g mit dem kürzesten Abstand zu $A$ .

Gegeben sind: Gerade g: $\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}$ und der Punkt $A$ .

VORGEHEN

$\vec{AL}$ bestimmen: $\vec{AL}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}-\vec{0A}$

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

$\vec{AL}$ liegt senkrecht auf $\vec{u}$ .

Setze $\vec{AL}\cdot\vec{u}=0$ und berechne $t$ (Gleichung lösen).

Berechne den Abstand $d=\left|\vec{AL}\right|$ .

Variante 2: Mit dem Vektorprodukt

Formel für den Abstand: $d=\frac{\left|\vec{PA}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}$

$\vec{PA}$	Verbindungsvektor zwischen Stützpunkt der Geraden und dem Punkt
$\vec{u}$	Richtungsvektor der Geraden

VORGEHEN

1.	Verbindungsvektor $\vec{PA}$ zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt bestimmen.
2.	Alle Elemente in die Formel einsetzen.

Variante 3: Mit einer Hilfsebene

Mittels einer Hilfsebene den Lotpunkt $A$ berechnen.

VORGEHEN

Hilfsebene $E$ bilden:

$E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ .

Normalenvektor ist der Richtungsvektor: $\vec{n}=\vec{u}$
Stützpunkt ist der Ortsvektor von $A$ : $\vec{0A}$

Gegeben:

$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.

Abstand zwischen $A$ und $S$ bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Reflexion von Punkt an Geraden

Ein Punkt soll an einer Geraden gespiegelt werden.

Mit einer Hilfsebene

Gegeben sind die Gerade $g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$ und der Punkt $A(x_A|y_A|z_A)$ . $A$ soll an $g$ gespiegelt werden.

VORGEHEN

1.	Hilfsebene $E$ bilden. $E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ : Normalenvektor: $\vec{n_E}=\vec{u}$ Stützpunkt A
2.	Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.
3.	Gerade $h$ bilden: Richtungsvektor: $\vec{AS}$ Stützpunkt A
4.	Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen $E$ und $g$ berechnen.
5.	Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen: $\vec{0A\prime}=\vec{0A}+2\cdot t_S\cdot\vec{u}$ Somit erhält man den Reflektionspunkt $A’$ .

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Abkürzung

Optional

Teil 2

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich grafisch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden bestimmen?

Grafisch bestimmst Du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden, indem Du senkrecht zur Geraden die Strecke zwischen der Geraden und dem Punkt misst. Hierfür verwendet man meist ein Geodreieck.

Mit welcher Methode kann ich in der analytischen Geometrie den Reflexionspunkt bestimmen, wenn ein Punkt an einer Geraden gespiegelt werden soll?

Soll ein Punkt an einer Geraden gespiegelt werden, so kannst Du den Reflexionspunkt in der analytischen Geometrie bestimmen, indem Du zuerst eine Hilfsebene bestimmst.

Welche unterschiedlichen mathematischen Methoden gibt es in der analytischen Geometrie, um den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden zu bestimmen?

Den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden kannst Du in der analytischen Geometrie entweder mit dem Skalarprodukt, dem Vektorprodukt oder mit einer Hilfsebene bestimmen.

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Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Kürzester Abstand von Punkt zu Geraden

Variante 1: Mit dem Skalarprodukt

Der Lotpunkt $L$ ist der Punkt auf der Gerade g mit dem kürzesten Abstand zu $A$ .

Gegeben sind: Gerade g: $\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}$ und der Punkt $A$ .

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$\vec{AL}$ bestimmen: $\vec{AL}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}-\vec{0A}$

$\vec{AL}$ liegt senkrecht auf $\vec{u}$ .

Setze $\vec{AL}\cdot\vec{u}=0$ und berechne $t$ (Gleichung lösen).

Berechne den Abstand $d=\left|\vec{AL}\right|$ .

Variante 2: Mit dem Vektorprodukt

Formel für den Abstand: $d=\frac{\left|\vec{PA}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}$

$\vec{PA}$	Verbindungsvektor zwischen Stützpunkt der Geraden und dem Punkt
$\vec{u}$	Richtungsvektor der Geraden

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1.	Verbindungsvektor $\vec{PA}$ zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt bestimmen.
2.	Alle Elemente in die Formel einsetzen.

Variante 3: Mit einer Hilfsebene

Mittels einer Hilfsebene den Lotpunkt $A$ berechnen.

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Hilfsebene $E$ bilden:

$E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ .

Normalenvektor ist der Richtungsvektor: $\vec{n}=\vec{u}$
Stützpunkt ist der Ortsvektor von $A$ : $\vec{0A}$

Gegeben:

$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.

Abstand zwischen $A$ und $S$ bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Reflexion von Punkt an Geraden

Ein Punkt soll an einer Geraden gespiegelt werden.

Mit einer Hilfsebene

Gegeben sind die Gerade $g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$ und der Punkt $A(x_A|y_A|z_A)$ . $A$ soll an $g$ gespiegelt werden.

VORGEHEN

1.	Hilfsebene $E$ bilden. $E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ : Normalenvektor: $\vec{n_E}=\vec{u}$ Stützpunkt A
2.	Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.
3.	Gerade $h$ bilden: Richtungsvektor: $\vec{AS}$ Stützpunkt A
4.	Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen $E$ und $g$ berechnen.
5.	Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen: $\vec{0A\prime}=\vec{0A}+2\cdot t_S\cdot\vec{u}$ Somit erhält man den Reflektionspunkt $A’$ .

Mehr dazu

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Dauer:

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

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Optional

Teil 2

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann ich grafisch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden bestimmen?

Mit welcher Methode kann ich in der analytischen Geometrie den Reflexionspunkt bestimmen, wenn ein Punkt an einer Geraden gespiegelt werden soll?

Soll ein Punkt an einer Geraden gespiegelt werden, so kannst Du den Reflexionspunkt in der analytischen Geometrie bestimmen, indem Du zuerst eine Hilfsebene bestimmst.

Welche unterschiedlichen mathematischen Methoden gibt es in der analytischen Geometrie, um den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden zu bestimmen?

Den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden kannst Du in der analytischen Geometrie entweder mit dem Skalarprodukt, dem Vektorprodukt oder mit einer Hilfsebene bestimmen.