Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Kürzester Abstand von Punkt zu Geraden

Variante 1: Mit dem Skalarprodukt

Der Lotpunkt $L$ ist der Punkt auf der Gerade g mit dem kürzesten Abstand zu $A$ .

Gegeben sind: Gerade g: $\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}$ und der Punkt $A$ .

VORGEHEN

1.

$\vec{AL}$ bestimmen: $\vec{AL}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}-\vec{0A}$

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

2.

$\vec{AL}$ liegt senkrecht auf $\vec{u}$ .

Setze $\vec{AL}\cdot\vec{u}=0$ und berechne $t$ (Gleichung lösen).

3.

Berechne den Abstand $d=\left|\vec{AL}\right|$ .

Variante 2: Mit dem Vektorprodukt

Formel für den Abstand: $d=\frac{\left|\vec{PA}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}$

$\vec{PA}$	Verbindungsvektor zwischen Stützpunkt der Geraden und dem Punkt
$\vec{u}$	Richtungsvektor der Geraden

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

VORGEHEN

1.	Verbindungsvektor $\vec{PA}$ zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt bestimmen.
2.	Alle Elemente in die Formel einsetzen.

Variante 3: Mit einer Hilfsebene

Mittels einer Hilfsebene den Lotpunkt $A$ berechnen.

VORGEHEN

1.

Hilfsebene $E$ bilden:

$E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ .

Normalenvektor ist der Richtungsvektor: $\vec{n}=\vec{u}$
Stützpunkt ist der Ortsvektor von $A$ : $\vec{0A}$

Gegeben:

$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$

$A(x_A|y_A|z_A)$

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

2.

Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.

3.

Abstand zwischen $A$ und $S$ bilden: $d=\left|\vec{AS}\right|$

Reflexion von Punkt an Geraden

Ein Punkt soll an einer Geraden gespiegelt werden.

Mit einer Hilfsebene

Gegeben sind die Gerade $g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$ und der Punkt $A(x_A|y_A|z_A)$ . $A$ soll an $g$ gespiegelt werden.

VORGEHEN

1.	Hilfsebene $E$ bilden. $E$ durch $A$ und senkrecht zu $g$ : Normalenvektor: $\vec{n_E}=\vec{u}$ Stützpunkt A
2.	Schnittpunkt $L$ zwischen $E$ und $g$ bilden.
3.	Gerade $h$ bilden: Richtungsvektor: $\vec{AS}$ Stützpunkt A
4.	Streckfaktor $t_s$ des Schnittpunkts zwischen $E$ und $g$ berechnen.
5.	Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen: $\vec{0A\prime}=\vec{0A}+2\cdot t_S\cdot\vec{u}$ Somit erhält man den Reflektionspunkt $A’$ .