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Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

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Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Kürzester Abstand von Punkt zu Geraden

Variante 1: Mit dem Skalarprodukt

Der Lotpunkt LL ist der Punkt auf der Gerade g mit dem kürzesten Abstand zu AA.

Gegeben sind: Gerade g: x=p+tu\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u} und der Punkt AA.


VORGEHEN

1.

AL\vec{AL}​ bestimmen: AL=p+tu0A\vec{AL}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}-\vec{0A}

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

2.

AL\vec{AL}​ liegt senkrecht auf u\vec{u}.

Setze ALu=0\vec{AL}\cdot\vec{u}=0 und berechne tt (Gleichung lösen).

3.

Berechne den Abstand d=ALd=\left|\vec{AL}\right|.


Variante 2: Mit dem Vektorprodukt

Formel für den Abstand: d=PA×uud=\frac{\left|\vec{PA}\times\vec{u}\right|}{\left|\vec{u}\right|}

PA\vec{PA}​​

Verbindungsvektor zwischen Stützpunkt der Geraden und dem Punkt

u\vec{u}​​

Richtungsvektor der Geraden

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen


VORGEHEN

1.

Verbindungsvektor PA\vec{PA} zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt bestimmen.

2.

Alle Elemente in die Formel einsetzen.


Variante 3: Mit einer Hilfsebene

Mittels einer Hilfsebene den Lotpunkt AA​ berechnen.


VORGEHEN

1.

Hilfsebene EE bilden:

EE​ durch AA und senkrecht zu gg.

  • Normalenvektor ist der Richtungsvektor: n=u\vec{n}=\vec{u}
  • Stützpunkt ist der Ortsvektor von AA: 0A\vec{0A}

Gegeben:

g:   x=p+tu,    tRg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}​​

A(xAyAzA)A(x_A|y_A|z_A)​​

Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

2.

Schnittpunkt LL zwischen EE und gg bilden.

3.

Abstand zwischen AA und SS bilden: d=ASd=\left|\vec{AS}\right|



Reflexion von Punkt an Geraden

Ein Punkt soll an einer Geraden gespiegelt werden.


Mit einer Hilfsebene

Gegeben sind die Gerade g:   x=p+tu,    tRg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R} und der Punkt A(xAyAzA)A(x_A|y_A|z_A). AA soll an gg gespiegelt werden.


VORGEHEN

1.

Hilfsebene EE bilden.

EE durch AA und senkrecht zu gg:

  • Normalenvektor: nE=u\vec{n_E}=\vec{u}
  • Stützpunkt A
Mathematik; Gerade; 3. Gymi; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

2.

Schnittpunkt LL zwischen EE und gg bilden.

3.

Gerade hh bilden:

  • Richtungsvektor: AS\vec{AS}
  • Stützpunkt A

4.

Streckfaktor tst_s des Schnittpunkts zwischen EE und gg berechnen.

5.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade einsetzen:

0A=0A+2tSu\vec{0A\prime}=\vec{0A}+2\cdot t_S\cdot\vec{u}​​

Somit erhält man den Reflektionspunkt AA’.