Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Differentialrechnung

Definition

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt $$x_0$$​. 
Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.

​Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (ausser bei linearen Funktionen).

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Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man des Differenzen- und den Differentialquotienten. 

Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate) 

Die Steigung der Sekante ist der «Differenzenquotient» (Quotient aus einer Differenz):

MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE:

​$$Sekantensteigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$​

Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der $$x$$​-Werte (verkleinert $$\Delta x$$​), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle $$x_0$$​ an.

Abstand verkleinern durch $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}$$​ . Dieser Grenzwert heisst «Differentialquotient» oder «Ableitung» der Funktion $$f$$​.

​$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0)$$​​

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Vorgehen

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.

Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von $$f(x)=3x^2+2$$ mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle $$x=2$$​

Differenzenquotienten aufstellen:

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(3 \cdot(x_0+\Delta x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{\Delta x}$$

Vereinfachen:

$$\frac{(3 \cdot(x_0^2+2x_0 \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_0^2}{\Delta x}=\frac{6x_0 \Delta x + 3 \Delta x^2}{\Delta x}=6x_0 \Delta x + 3 \Delta x$$​​

Differentialquotient bei $$x_0$$​ bestimmen:

​$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}(6x_0 \Delta x + 3 \Delta x)=6x_0$$​​

1. Ableitung für beliebiges $$x$$​:

$$\underline{f'(x)=6x}$$​​

Steigung an der Stelle $$x=2$$​: $$f'(2)=6 \cdot 2= \underline{12}$$