Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen Differentialrechnung Definition Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt x 0 x_0 x 0 . Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.
Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (ausser bei linearen Funktionen).
Ableitung - Herleitung Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man des Differenzen- und den Differentialquotienten.
Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate) Die Steigung der Sekante ist der «Differenzenquotient» (Quotient aus einer Differenz):
MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE: 1.
den Punkt, in dem man die Steigung sucht. P 0 ( x 0 ∣ f ( x 0 ) ) P_0 (x_0|f(x_0)) P 0 ( x 0 ∣ f ( x 0 ))
2.
einen Punkt etwas weiter weg (
+ Δ x +\Delta x + Δ x ) auf der Funktion.
P 2 ( x 0 + Δ x ∣ f ( x 0 + Δ x ) ) P_2 (x_0+\Delta x|f(x_0+\Delta x)) P 2 ( x 0 + Δ x ∣ f ( x 0 + Δ x ))
S e k a n t e n s t e i g u n g = Δ y Δ x = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x Sekantensteigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} S e kan t e n s t e i gu n g = Δ x Δ y = Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
Differentialquotient bilden (erste Ableitung) Verkleinert man den Abstand der x x x -Werte (verkleinert Δ x \Delta x Δ x ), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle x 0 x_0 x 0 an. Abstand verkleinern durch lim Δ x → 0 \lim\limits_{\Delta x \to 0} Δ x → 0 lim . Dieser Grenzwert heisst «Differentialquotient» oder «Ableitung» der Funktion f f f .
lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = d f ( x 0 ) d x = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0) Δ x → 0 lim Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = d x df ( x 0 ) = f ′ ( x 0 )
Vorgehen Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.
1.
Stelle den Differenzenquotient auf:
f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
Hinweis: Anstatt Δ x \Delta x Δ x schreibt man oft auch h.
2.
Vereinfache den Bruch so weit wie möglich.
3.
Differentialquotient bestimmen: Berechne den Grenzwert
lim Δ x → 0 \lim\limits_{\Delta x \to 0} Δ x → 0 lim bzw. lim h → 0 \lim\limits_{h \to 0} h → 0 lim
4.
Vereinfache den Term so weit wie möglich.
Beispiel Bestimme die erste Ableitung von f ( x ) = 3 x 2 + 2 f(x)=3x^2+2 f ( x ) = 3 x 2 + 2 mit Hilfe des Differenzenquotienten.
Berechne die Steigung an der Stelle x = 2 x=2 x = 2
Differenzenquotienten aufstellen:
f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = ( 3 ⋅ ( x 0 + Δ x ) 2 + 2 ) − ( 3 x 0 2 + 2 ) Δ x \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(3 \cdot(x_0+\Delta x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{\Delta x} Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = Δ x ( 3 ⋅ ( x 0 + Δ x ) 2 + 2 ) − ( 3 x 0 2 + 2 )
Vereinfachen:
( 3 ⋅ ( x 0 2 + 2 x 0 Δ x + Δ x 2 + 2 ) − 3 x 0 2 Δ x = 6 x 0 Δ x + 3 Δ x 2 Δ x = 6 x 0 Δ x + 3 Δ x \frac{(3 \cdot(x_0^2+2x_0 \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_0^2}{\Delta x}=\frac{6x_0 \Delta x + 3 \Delta x^2}{\Delta x}=6x_0 \Delta x + 3 \Delta x Δ x ( 3 ⋅ ( x 0 2 + 2 x 0 Δ x + Δ x 2 + 2 ) − 3 x 0 2 = Δ x 6 x 0 Δ x + 3Δ x 2 = 6 x 0 Δ x + 3Δ x
Differentialquotient bei x 0 x_0 x 0 bestimmen:
lim Δ x → 0 ( 6 x 0 Δ x + 3 Δ x ) = 6 x 0 \lim\limits_{\Delta x \to 0}(6x_0 \Delta x + 3 \Delta x)=6x_0 Δ x → 0 lim ( 6 x 0 Δ x + 3Δ x ) = 6 x 0
1. Ableitung für beliebiges x x x :
f ′ ( x ) = 6 x ‾ \underline{f'(x)=6x} f ′ ( x ) = 6 x
Steigung an der Stelle x = 2 x=2 x = 2 : f ′ ( 2 ) = 6 ⋅ 2 = 12 ‾ f'(2)=6 \cdot 2= \underline{12} f ′ ( 2 ) = 6 ⋅ 2 = 12