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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Differentialrechnung

Definition

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt x0x_0​. 
Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.


​Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (ausser bei linearen Funktionen).


Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man des Differenzen- und den Differentialquotienten. 


Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate) 

Die Steigung der Sekante ist der «Differenzenquotient» (Quotient aus einer Differenz):

 

MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE:

1.

den Punkt, in dem man die Steigung sucht.
P0(x0f(x0))P_0 (x_0|f(x_0))​​

2.
einen Punkt etwas weiter weg (+Δx+\Delta x​) auf der Funktion.
P2(x0+Δxf(x0+Δx))P_2 (x_0+\Delta x|f(x_0+\Delta x))


Sekantensteigung=ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)ΔxSekantensteigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}


Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)


Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der xx​-Werte (verkleinert Δx\Delta x​), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle x0x_0​ an.

Abstand verkleinern durch limΔx0\lim\limits_{\Delta x \to 0}​ . Dieser Grenzwert heisst «Differentialquotient» oder «Ableitung» der Funktion ff​.

limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=df(x0)dx=f(x0)\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0)​​


Vorgehen

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.


1.

Stelle den Differenzenquotient auf:

f(x0+Δx)f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}​​

Hinweis: Anstatt Δx\Delta x schreibt man oft auch h.

2.

Vereinfache den Bruch so weit wie möglich.

3.

Differentialquotient bestimmen: Berechne den Grenzwert

limΔx0\lim\limits_{\Delta x \to 0} bzw. limh0\lim\limits_{h \to 0}​​

4.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.


Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2 mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle x=2x=2

Differenzenquotienten aufstellen:

f(x0+Δx)f(x0)Δx=(3(x0+Δx)2+2)(3x02+2)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(3 \cdot(x_0+\Delta x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{\Delta x}

Vereinfachen:

(3(x02+2x0Δx+Δx2+2)3x02Δx=6x0Δx+3Δx2Δx=6x0Δx+3Δx\frac{(3 \cdot(x_0^2+2x_0 \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_0^2}{\Delta x}=\frac{6x_0 \Delta x + 3 \Delta x^2}{\Delta x}=6x_0 \Delta x + 3 \Delta x​​

Differentialquotient bei x0x_0 bestimmen:

limΔx0(6x0Δx+3Δx)=6x0\lim\limits_{\Delta x \to 0}(6x_0 \Delta x + 3 \Delta x)=6x_0​​

1. Ableitung für beliebiges xx:

f(x)=6x\underline{f'(x)=6x}​​

Steigung an der Stelle x=2x=2f(2)=62=12f'(2)=6 \cdot 2= \underline{12}




 


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Für was braucht man die Differentialrechnung?

Was ist ein Differentialquotient?

Wie berechnet man die Ableitung?

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