Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Differentialrechnung

Definition

Mit der Differentialrechnung bestimmt man die Steigung (Veränderung) eines Graphen in einem bestimmten Punkt $x_0$ .
Die Steigung eines Graphen in einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente in dem Punkt.

Mathematik; Ableitungen; Passerelle; Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Die Steigung einer Funktion ändert sich für gewöhnlich mit jedem x-Wert (ausser bei linearen Funktionen).

Ableitung - Herleitung

Um entweder die Steigung einer Funktion in einem Punkt oder die Ableitung einer Funktion herzuleiten, verwendet man des Differenzen- und den Differentialquotienten.

Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)

Die Steigung der Sekante ist der «Differenzenquotient» (Quotient aus einer Differenz):

MAN BILDET EINE SEKANTE DURCH ZWEI PUNKTE:

1.	den Punkt, in dem man die Steigung sucht. $P_0 (x_0\|f(x_0))$
2.	einen Punkt etwas weiter weg ( $+\Delta x$ ) auf der Funktion. $P_2 (x_0+\Delta x\|f(x_0+\Delta x))$

$Sekantensteigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Differenzenquotient bilden (mittlere Änderungsrate)

Differentialquotient bilden (erste Ableitung)

Verkleinert man den Abstand der $x$ -Werte (verkleinert $\Delta x$ ), so nähert sich die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente an der Stelle $x_0$ an.

Abstand verkleinern durch $\lim\limits_{\Delta x \to 0}$ . Dieser Grenzwert heisst «Differentialquotient» oder «Ableitung» der Funktion $f$ .

$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{df(x_0)}{dx}=f'(x_0)$

Vorgehen

Ableitung bilden und die Steigung in einem Punkt berechnen.

1.	Stelle den Differenzenquotient auf: $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ Hinweis: Anstatt $\Delta x$ schreibt man oft auch h.
2.	Vereinfache den Bruch so weit wie möglich.
3.	Differentialquotient bestimmen: Berechne den Grenzwert $\lim\limits_{\Delta x \to 0}$ bzw. $\lim\limits_{h \to 0}$
4.	Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von $f(x)=3x^2+2$ mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Berechne die Steigung an der Stelle $x=2$

Differenzenquotienten aufstellen:

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(3 \cdot(x_0+\Delta x)^2+2)-(3x_0^2+2)}{\Delta x}$

Vereinfachen:

$\frac{(3 \cdot(x_0^2+2x_0 \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_0^2}{\Delta x}=\frac{6x_0 \Delta x + 3 \Delta x^2}{\Delta x}=6x_0 \Delta x + 3 \Delta x$ 

Differentialquotient bei $x_0$ bestimmen:

$\lim\limits_{\Delta x \to 0}(6x_0 \Delta x + 3 \Delta x)=6x_0$

1. Ableitung für beliebiges $x$ :

$\underline{f'(x)=6x}$ 

Steigung an der Stelle $x=2$ : $f'(2)=6 \cdot 2= \underline{12}$