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Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Zusammenfassung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Stammfunktionen von Basisfunktionen 

Funktion

f(x)f\left(x\right)​​

F(x)F\left(x\right)​​

Potenzfunktion

xnx^n​​

1n+1xn+1+c\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c​​

Sonderfall n=1n=-1​​

1x=x1\frac{1}{x}=x^{-1}​​

ln(x)+cln{\left(\left|x\right|\right)}+c​​

​Exponentialfunktion

axa^x​​

1ln(a)ax+c\frac{1}{ln\left(a\right)}\cdot a^x+c​​

exe^x​​

ex+ce^x+c​​

​Logarithmusfunktion

loga(x){log}_a\left(x\right)​​

xln(x)xln(a)+c\frac{x\cdot l n\left(x\right)-x}{ln\left(a\right)}+c​​

ln(x)ln\left(x\right)​​

xln(x)x+cx\cdot ln\left(x\right)-x+c​​

​Trigonometrische Funktionen

sin(x)sin\left(x\right)​​

cos(x)+c-cos\left(x\right)+c​​

cos(x)cos\left(x\right)​​

sin(x)+csin\left(x\right)+c​​

tan(x)tan\left(x\right)​​

ln(cos(x))+c-ln{\left(\left|cos\left(x\right)\right|\right)}+c



Integrationsregeln 

Faktorregel

Vorfaktoren darf man vor das Integral schreiben.

au(x)dx=au(x)dx\int{a\cdot u\left(x\right)dx}=a\cdot \int u\left(x\right)dx​​


Beispiel

8x2dx=8x2dx\int{8\cdot x^2dx}=8\cdot \int{x^2dx}​​



Summenregel

Summen und Differenzen darf man getrennt oder zusammen integrieren.

u(x)+v(x)dx=u(x)dx+v(x)dx\int{u\left(x\right)+v\left(x\right)dx}=\int u\left(x\right)dx+\int v\left(x\right)dx​​


Beispiel

x2+3xdx=x2 dx+3x dx\int{x^2+3xdx}=\int{x^2\ dx}+\int{3x\ dx}​​


​​

Intervalladditivität

Man darf Integrale bei gemeinsamen Grenzen zusammenführen und trennen. 

abu(x)dx+bcu(x)dx=acu(x)dx\int_{a}^{b}u\left(x\right)dx+\int_{b}^{c}u\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}u\left(x\right)dx​​


Beispiel 

01x2 dx+12x2 dx=02x2 dx\int_{0}^{1}{x^2\ dx}+\int_{1}^{2}{x^2\ dx}=\int_{0}^{2}{x^2\ dx}​​




Tipp: Stammfunktion prüfen

Prüfe, ob eine Stammfunktion zu einer Funktion gehört, indem Du die Stammfunktion ableitest. Oft ist es leichter die Stammfunktion abzuleiten, anstatt die Funktion zu integrieren.  


F(x)=f(x)F^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Integrationsregeln gibt es?

Was ist die Stammfunktion von der Potenzfunktion x^n?

Ist Aufleiten und Integrieren dasselbe?

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