Monotonie: Definition und Vorgehen
Definition
Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:
- In welchen x-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
- In welchen x-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?
Arten der Monotonie
Monotonie einer Funktion prüfen
VORGEHEN
| 1. | Bestimme die erste Ableitung: f′(x) |
| 2. | Berechne die Extrema der Funktion. |
| 3. | Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: Beispiel mit zwei Extremstellen xE1 und xE2: -
Intervall: (−∞, xE1)
- Intervall: (xE1, xE2)
- Intervall: (xE2, +∞)
|
| 4. | Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle.
Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein. |
Beispiel
Bestimme die Monotonie von:
f(x)=x3
Ableitungen:
f′(x)=3x2f′′(x)=6x
Extrema:
Notwendige Bedingung: f′(x)=0
0=3x2xE=0
Hinreichende Bedingung: f′′(x) prüfen.
f′′(0)=0, Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.
Intervalle:
Intervall: (−∞, 0)Intervall: (0, ∞)
Steigungen in den Intervallen:
Intervall:f′(−1)=3 steigend
Intervall:f′(1)=3 steigend
Die Funktion steigt über beide Intervalle.
Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.
Monotonie: Definition und Vorgehen
Definition
Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:
- In welchen x-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
- In welchen x-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?
Arten der Monotonie
Monotonie einer Funktion prüfen
VORGEHEN
| 1. | Bestimme die erste Ableitung: f′(x) |
| 2. | Berechne die Extrema der Funktion. |
| 3. | Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: Beispiel mit zwei Extremstellen xE1 und xE2: -
Intervall: (−∞, xE1)
- Intervall: (xE1, xE2)
- Intervall: (xE2, +∞)
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| 4. | Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle.
Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein. |
Beispiel
Bestimme die Monotonie von:
f(x)=x3
Ableitungen:
f′(x)=3x2f′′(x)=6x
Extrema:
Notwendige Bedingung: f′(x)=0
0=3x2xE=0
Hinreichende Bedingung: f′′(x) prüfen.
f′′(0)=0, Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.
Intervalle:
Intervall: (−∞, 0)Intervall: (0, ∞)
Steigungen in den Intervallen:
Intervall:f′(−1)=3 steigend
Intervall:f′(1)=3 steigend
Die Funktion steigt über beide Intervalle.
Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.
