Home

Mathematik

Kurvendiskussion

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lektion auswählen

Algebra

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen als Boxenanordnung

Lineare Gleichungen mit Parametern

Bruchgleichung ohne Variable im Nenner

Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Lineare Gleichung als Boxanordnung

Satzaufgaben mit Anteilen

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichung Einführung

Direkte Berechnung quadratischer Gleichungen

Faktorzerlegung einer quadratischen Gleichung

Gleichung lösen mit quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Ungleichungen

Lineare Ungleichung

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Quadratische Ungleichungen lösen

Gleichungssysteme

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Analysis

Funktionen

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Umkehrfunktion: Definition & Beispiele

Ableitungen

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Monotonie: Definition und Vorgehen

Definition

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:

In welchen $x$ -Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
In welchen $x$ -Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?

Arten der Monotonie

Monotonie einer Funktion prüfen

VORGEHEN

1.	Bestimme die erste Ableitung: $f'\left(x\right)$
2.	Berechne die Extrema der Funktion.
3.	Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: Beispiel mit zwei Extremstellen $x_{E1}$ und $x_{E2}$ : $Intervall:\ (-\infty,\ \ x_{E1})$ $Intervall:\ (x_{E1},\ \ x_{E2})$ $Intervall:\ (x_{E2},\ \ +\infty)$
4.	Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle. Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein.

Beispiel

Bestimme die Monotonie von:

$f\left(x\right)=x^3$

Ableitungen:

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\\{f'}^\prime\left(x\right)=6x$

Extrema:

Notwendige Bedingung: $f^\prime\left(x\right)=0$

$0=3x^2\\x_E=0$

Hinreichende Bedingung: ${f'}^\prime\left(x\right)$ prüfen.

${f'}^\prime\left(0\right)=0$ , Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.

Intervalle:

$Intervall:\ (-\infty,\ 0)\\Intervall:\ (0,\ \infty)$

Steigungen in den Intervallen:

$Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3$  steigend

$Intervall: f^\prime\left(1\right)=3$  steigend

Die Funktion steigt über beide Intervalle.

Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Teil 2

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Teil 3

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Teil 4

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Abkürzung

Teil 5