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Monotonie: Definition und Vorgehen

Monotonie: Definition und Vorgehen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Monotonie: Definition und Vorgehen

Definition

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:

  • In welchen xx​​-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
  • In welchen xx-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?



Arten der Monotonie

Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Monotonie: Definition und Vorgehen



Monotonie einer Funktion prüfen

VORGEHEN

1.

Bestimme die erste Ableitung: f(x)f'\left(x\right)

2.

Berechne die Extrema der Funktion.

3.

Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: 

Beispiel mit zwei Extremstellen xE1x_{E1} und xE2x_{E2}:

  1. Intervall: (,  xE1)Intervall:\ (-\infty,\ \ x_{E1})​​
  2. Intervall: (xE1,  xE2)Intervall:\ (x_{E1},\ \ x_{E2})​​
  3. Intervall: (xE2,  +)Intervall:\ (x_{E2},\ \ +\infty)​​

4.

Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle.


Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein.


Beispiel

Bestimme die Monotonie von:

f(x)=x3f\left(x\right)=x^3​​

Ableitungen:

f(x)=3x2f(x)=6xf^\prime\left(x\right)=3x^2\\{f'}^\prime\left(x\right)=6x​​


Extrema:

Notwendige Bedingung: f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0

0=3x2xE=00=3x^2\\x_E=0​​


Hinreichende Bedingung: f(x){f'}^\prime\left(x\right) prüfen.

f(0)=0{f'}^\prime\left(0\right)=0​, Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.


Intervalle:

Intervall: (, 0)Intervall: (0, )Intervall:\ (-\infty,\ 0)\\Intervall:\ (0,\ \infty)​​


Steigungen in den Intervallen:

Intervall:f(1)=3Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3 ​ steigend

Intervall:f(1)=3Intervall: f^\prime\left(1\right)=3 ​ steigend


Die Funktion steigt über beide Intervalle.

Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist eine Funktion streng monoton steigend?

Wie prüfe ich die Monotonie einer Funktion?

Was wird bei der Monotonie von Funktionen untersucht?

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