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Zusammenfassung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.

Formel

$E:\ \ \vec{n_0}\cdot\vec{x}=d_0$

wobei: $\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}$ und $d_0=\frac{d}{\left|\vec{n}\right|}$
Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von $\vec{n}$ .

Eigenschaften

Normalenvektor $\ \vec{n_0}$ hat den Betrag 1 (Länge: $\left|\ \vec{n_0}\right|=1)$
$d_0$ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.

Beispiel

Ebene als Koordinatengleichung:

$E:\ \ \ x+2y-2z=12$

Normalenvektor: $\vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right), \left|\vec{n}\right|=3$

Ebene in Hess’scher Normalform:

$\vec{n_0}=\frac{1}{3}\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \$ $d_0=\frac{12}{3}=4$

$E_H:\ \frac{x+2y-2z}{3}=4$

Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt Q zu einer Ebene E zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von Q in die Hess'sche Normalform ein:

ABSTANDSFORMEL:

$D_{Q\ zu\ E}=\frac{\left\|\vec{q}\cdot\vec{n}-d\right\|}{\left\|\vec{n}\right\|}$	$\vec{n}$	Normalenvektor der Ebene E
	$d$	Konstante d der Ebene E
	$\vec{q}$	Ortsvektor des Punkt Q

Beispiel

$E:\ \ \ \ x+2y-2z=12$ Abstand zum Punkt: $A\left(2\left|3\right|4\right)$

Abstandsformel:

$D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\left(\begin{matrix}2\\3\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)-12\right|}{\left|\sqrt{1^2+2^2+2^2}\right|}=\frac{\left|2+6-8-12\right|}{\left|3\right|}=\frac{12}{3}=\underline{4}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 2

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 3

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 4

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Abkürzung

Optional

Teil 5