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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften
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Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.
Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.
E: n0⃗⋅x⃗=d0E:\ \ \vec{n_0}\cdot\vec{x}=d_0E: n0⋅x=d0
Ebene als Koordinatengleichung:
E: x+2y−2z=12E:\ \ \ x+2y-2z=12E: x+2y−2z=12
Normalenvektor: n⃗=(12−2),∣n⃗∣=3 \vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right), \left|\vec{n}\right|=3n=12−2,∣n∣=3
Ebene in Hess’scher Normalform:
n0⃗=13⋅(12−2) \vec{n_0}=\frac{1}{3}\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ n0=31⋅12−2 d0=123=4d_0=\frac{12}{3}=4d0=312=4
EH: x+2y−2z3=4E_H:\ \frac{x+2y-2z}{3}=4EH: 3x+2y−2z=4
Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt Q zu einer Ebene E zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von Q in die Hess'sche Normalform ein:
Normalenvektor der Ebene E
Konstante d der Ebene E
Ortsvektor des Punkt Q
E: x+2y−2z=12E:\ \ \ \ x+2y-2z=12E: x+2y−2z=12 Abstand zum Punkt: A(2∣3∣4)A\left(2\left|3\right|4\right)A(2∣3∣4)
Abstandsformel:
DA zu E=∣(234)⋅(12−2)−12∣∣12+22+22∣=∣2+6−8−12∣∣3∣=123=4‾D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\left(\begin{matrix}2\\3\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)-12\right|}{\left|\sqrt{1^2+2^2+2^2}\right|}=\frac{\left|2+6-8-12\right|}{\left|3\right|}=\frac{12}{3}=\underline{4}DA zu E=12+22+22234⋅12−2−12=∣3∣∣2+6−8−12∣=312=4
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Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung. Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.
