Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.

Formel

$$E:\ \ \vec{n_0}\cdot\vec{x}=d_0$$​​

• wobei: $$\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}$$​ und $$d_0=\frac{d}{\left|\vec{n}\right|}$$​
• Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von $$\vec{n}$$​.

​

Eigenschaften

• Normalenvektor $$\ \vec{n_0}$$​ hat den Betrag 1 (Länge: $$\left|\ \vec{n_0}\right|=1)$$​
• $$d_0$$​ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.

Beispiel

Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt Q zu einer Ebene E zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von Q in die Hess'sche Normalform ein:

ABSTANDSFORMEL:

Beispiel

$$E:\ \ \ \ x+2y-2z=12$$​ Abstand zum Punkt: $$A\left(2\left|3\right|4\right)$$​

Abstandsformel:

$$D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\left(\begin{matrix}2\\3\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)-12\right|}{\left|\sqrt{1^2+2^2+2^2}\right|}=\frac{\left|2+6-8-12\right|}{\left|3\right|}=\frac{12}{3}=\underline{4}$$​​