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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Zusammenfassung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Definition

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung.

Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.



Formel

E:  n0⃗⋅x⃗=d0E:\ \ \vec{n_0}\cdot\vec{x}=d_0E:  n0​​⋅x=d0​​​

  • wobei: n0⃗=n⃗∣n⃗∣\vec{n_0}=\frac{\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|}n0​​=∣n∣n​​ und d0=d∣n⃗∣d_0=\frac{d}{\left|\vec{n}\right|}d0​=∣n∣d​​
  • Man teilt die Ebenengleichung durch die Länge von n⃗\vec{n}n​.

​

Eigenschaften

  • Normalenvektor  n0⃗\ \vec{n_0} n0​​​ hat den Betrag 1 (Länge: ∣ n0⃗∣=1)\left|\ \vec{n_0}\right|=1)∣ n0​​∣=1)​
  • d0d_0d0​​ ist der Abstand der Ebene zum Ursprung.


Beispiel

Ebene als Koordinatengleichung:

E:   x+2y−2z=12E:\ \ \ x+2y-2z=12E:   x+2y−2z=12​​

Normalenvektor: n⃗=(12−2),∣n⃗∣=3 \vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right), \left|\vec{n}\right|=3n=​12−2​​,∣n∣=3​

Ebene in Hess’scher Normalform:

n0⃗=13⋅(12−2)        \vec{n_0}=\frac{1}{3}\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ n0​​=31​⋅​12−2​​        ​​d0=123=4d_0=\frac{12}{3}=4d0​=312​=4​


EH: x+2y−2z3=4E_H:\ \frac{x+2y-2z}{3}=4EH​: 3x+2y−2z​=4​​

 



Anwendung

Abstand Ebene und Punkt

Um den Abstand (kürzeste Strecke) von einem Punkt Q zu einer Ebene E zu berechnen, setzt man den Ortsvektor von Q in die Hess'sche Normalform ein:


ABSTANDSFORMEL:

​DQ zu E=∣q⃗⋅n⃗−d∣∣n⃗∣D_{Q\ zu\ E}=\frac{\left|\vec{q}\cdot\vec{n}-d\right|}{\left|\vec{n}\right|}DQ zu E​=∣n∣∣q​⋅n−d∣​​​
​n⃗\vec{n}n​​

Normalenvektor der Ebene E

​ddd​​

Konstante d der Ebene E

​q⃗\vec{q}q​​​

Ortsvektor des Punkt Q


Beispiel

E:    x+2y−2z=12E:\ \ \ \ x+2y-2z=12E:    x+2y−2z=12​ Abstand zum Punkt: A(2∣3∣4)A\left(2\left|3\right|4\right)A(2∣3∣4)​


Abstandsformel:

DA zu E=∣(234)⋅(12−2)−12∣∣12+22+22∣=∣2+6−8−12∣∣3∣=123=4‾D_{A\ zu\ E}=\frac{\left|\left(\begin{matrix}2\\3\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\\\end{matrix}\right)-12\right|}{\left|\sqrt{1^2+2^2+2^2}\right|}=\frac{\left|2+6-8-12\right|}{\left|3\right|}=\frac{12}{3}=\underline{4}DA zu E​=​12+22+22​​​​234​​⋅​12−2​​−12​​=∣3∣∣2+6−8−12∣​=312​=4​​​







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Dauer:
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 2

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 3

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 4

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

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Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Hess'sche Normalform?

Die Hess'sche Normalform ist eine spezielle Form der Koordinatengleichung. Sie wird verwendet, um den Abstand von einer Ebene E zu einem Punkt Q zu berechnen.

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