Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Mengen

Bei Wahrscheinlichkeiten kann man Ergebnisse von Zufallsexperimenten als eigene oder zusammengesetzte Mengen interpretieren. Mit der Wahrscheinlichkeit von Mengen sucht man die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse in diesen Mengen.

Schreibeweisen

Schreibweise und Operationen von Wahrscheinlichkeiten «$$P$$​»

Spezialfälle

Komplement (Gegenteile) der Mengen $$A\cup B$$​ und $$\ A\cap B$$​ bestimmen:

Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel hilft bei der Berechnung von kombinierten Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen. In einer Vierfeldertafel werden die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B zusammen mit den Gegenereignissen und deren Schnittmengen etwas übersichtlicher dargestellt.

Darstellung

Die Vierfeldertafel kann man mit Häufigkeiten oder mit Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Für beide gilt Folgendes:

• Erste Zeile: Erstes Ergebnis. A tritt ein, A tritt nicht ein
• Erste Spalte: Zweites Ergebnis. B tritt ein, B tritt nicht ein

Darstellung mit Häufigkeiten

• Letzte Zeile: Häufigkeiten des ersten Ergebnisses.
• Letzte Spalte: Häufigkeiten des zweiten Ergebnisses.
• Mittige Zellen: Häufigkeiten der Kombinationen von A und B.

Vierfeldertafel mit Häufigkeiten

Darstellung mit Wahrscheinlichkeiten

• Letzte Zeile: Wahrscheinlichkeiten des ersten Ergebnisses: $$P\left(A\ tritt\ ein\right), P\left(A\ tritt\ nicht\ ein\right).$$​
• Letzte Spalte: Wahrscheinlichkeiten des zweiten Ergebnisses: $$P\left(B\ tritt\ ein\right), P\left(B\ tritt\ nicht\right)$$​ ein.
• Mittige Zellen: Kombinierte Wahrscheinlichkeiten von A und B

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel

In der Eisdiele Polarstern wird nur Schokoladeneis und Vanilleeis verkauft. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel oder eine Kugel im Becher bestellen.

Folgende Tabelle zeigt, wie viele von 100 Kunden und Kundinnen was bestellt haben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Schokolade oder einen Becher nimmt.

Häufigkeiten:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Bechers:

$$P\left(Becher\right)=\frac{65}{100}=0.65$$​​

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokolade: 

$$P\left(Schokolade\right)=\frac{50}{100}=0.5$$​​

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokoladeeis im Becher: 

$$P\left(Schokolade\cap B e c h e r\right)=\frac{35}{100}=0.35$$​​

Wahrscheinlichkeiten:

Wahrscheinlichkeit von Schokolade oder Becher mit dem Additionssatz:

$$P\left(Schokolade\cup B e c h e r\right)=P\left(Schokolade\right)+P\left(Becher\right)-P\left(Schokolade\cap B e c h e r\right)=0.5+0.65-0.35=0.80$$​​

Zusatz: Da man nur Eis im Becher oder der Waffel verkauft, ist die Waffel das Komplement des Bechers und die Wahrscheinlichkeit für eine Waffel:

$$P\left(Waffel\right)=1-P\left(Becher\right)=1-0.65=0.35$$​​