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Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Lehrperson: Kim

Zusammenfassung

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Mengen

Bei Wahrscheinlichkeiten kann man Ergebnisse von Zufallsexperimenten als eigene oder zusammengesetzte Mengen interpretieren. Mit der Wahrscheinlichkeit von Mengen sucht man die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse in diesen Mengen.


Schreibeweisen

Schreibweise und Operationen von Wahrscheinlichkeiten «PP»


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Spezialfälle

Komplement (Gegenteile) der Mengen ABA\cup B und  AB\ A\cap B bestimmen:


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Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel hilft bei der Berechnung von kombinierten Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen. In einer Vierfeldertafel werden die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen A und B zusammen mit den Gegenereignissen und deren Schnittmengen etwas übersichtlicher dargestellt.


Darstellung

Die Vierfeldertafel kann man mit Häufigkeiten oder mit Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Für beide gilt Folgendes:

  • Erste Zeile: Erstes Ergebnis. A tritt ein, A tritt nicht ein
  • Erste Spalte: Zweites Ergebnis. B tritt ein, B tritt nicht ein


Darstellung mit Häufigkeiten

  • Letzte Zeile: Häufigkeiten des ersten Ergebnisses.
  • Letzte Spalte: Häufigkeiten des zweiten Ergebnisses.
  • Mittige Zellen: Häufigkeiten der Kombinationen von A und B.


Vierfeldertafel mit Häufigkeiten


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Darstellung mit Wahrscheinlichkeiten

  • Letzte Zeile: Wahrscheinlichkeiten des ersten Ergebnisses: P(A tritt ein),P(A tritt nicht ein).P\left(A\ tritt\ ein\right), P\left(A\ tritt\ nicht\ ein\right).
  • Letzte Spalte: Wahrscheinlichkeiten des zweiten Ergebnisses: P(B tritt ein),P(B tritt nicht)P\left(B\ tritt\ ein\right), P\left(B\ tritt\ nicht\right) ​ ein.
  • Mittige Zellen: Kombinierte Wahrscheinlichkeiten von A und B


Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten


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Beispiel

In der Eisdiele Polarstern wird nur Schokoladeneis und Vanilleeis verkauft. Entweder kann man eine Kugel in der Waffel oder eine Kugel im Becher bestellen.

Folgende Tabelle zeigt, wie viele von 100 Kunden und Kundinnen was bestellt haben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Schokolade oder einen Becher nimmt.


Häufigkeiten:


Schokolade

Vanille

Total

Becher

35

30

65

Waffel

15

20

35

Total

50

50

100


Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Bechers:

P(Becher)=65100=0.65P\left(Becher\right)=\frac{65}{100}=0.65​​


Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokolade: 

P(Schokolade)=50100=0.5P\left(Schokolade\right)=\frac{50}{100}=0.5​​


Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Schokoladeeis im Becher: 

P(SchokoladeBecher)=35100=0.35P\left(Schokolade\cap B e c h e r\right)=\frac{35}{100}=0.35​​


Wahrscheinlichkeiten:


Schokolade

Vanille

Total

Becher

35%

30%

65%

Waffel

15%

20%

35%

Total

50%

50%

100%


Wahrscheinlichkeit von Schokolade oder Becher mit dem Additionssatz:


P(SchokoladeBecher)=P(Schokolade)+P(Becher)P(SchokoladeBecher)=0.5+0.650.35=0.80P\left(Schokolade\cup B e c h e r\right)=P\left(Schokolade\right)+P\left(Becher\right)-P\left(Schokolade\cap B e c h e r\right)=0.5+0.65-0.35=0.80​​


Zusatz: Da man nur Eis im Becher oder der Waffel verkauft, ist die Waffel das Komplement des Bechers und die Wahrscheinlichkeit für eine Waffel:


P(Waffel)=1P(Becher)=10.65=0.35P\left(Waffel\right)=1-P\left(Becher\right)=1-0.65=0.35​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie rechne ich mit Hilfe einer Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten aus?

Wie liest man eine Vierfeldertafel?

Wozu brauche ich eine Vierfeldertafel?

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