Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln 2-Dimensional: Kreise Standardform (Normalform) K : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 = r 2 K:\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2 K : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 = r 2
Mittelpunkt in M ( x M ∣ y M ) M(x_M|y_M) M ( x M ∣ y M ) und Radius r.
Hinweis : Kreise beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.
Beispiel Kreis mit Mittelpunkt M ( 2 ∣ 1 ) M(2|1) M ( 2∣1 ) und Radius r = 2 r=2 r = 2 :
K : ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4 K:\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4 K : ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 4
3-Dimensional: Kugeln Standardform (Normalform) K : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 = r 2 K:\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2 K : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 = r 2
Mittelpunkt in M ( x M ∣ y M ∣ z M ) M(x_M|y_M|z_M) M ( x M ∣ y M ∣ z M ) und Radius r.
Hinweis : Kugeln beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.
Beispiel Kreis mit Mittelpunkt M ( 1 ∣ − 2 ∣ 4 ) M(1|-2|4) M ( 1∣ − 2∣4 ) und Radius r = 3 r=3 r = 3 :
K : ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 4 ) 2 = 9 K:\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9 K : ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 4 ) 2 = 9
Kreis- und Kugelgleichungen aufstellen Kreisgleichung Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf dem Kreis sind gegeben.
VORGEHEN 1.
Radius r berechnen: Abstand von M zu P.
2.
Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.
Beispiel Gegeben: M ( 3 , 2 ) M\left(3,2\right) M ( 3 , 2 ) und P ( 0 , − 2 ) P\left(0,-2\right) P ( 0 , − 2 )
Radius: r = ∣ M P ⃗ ∣ = 5 r=\left|\vec{MP}\right|=5 r = MP = 5
Kugelgleichung Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf der Kugel sind gegeben.
VORGEHEN 1.
Radius r berechnen: Abstand von M zu P.
2.
Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.
Beispiel Gegeben: M ( − 2 , 2 , 1 ) , P ( 1 , − 2 , − 1 ) M\left(-2,2,1\right),\ P\left(1,-2,-1\right) M ( − 2 , 2 , 1 ) , P ( 1 , − 2 , − 1 )
Radius: r = ∣ M P ⃗ ∣ = 29 r=\left|\vec{MP}\right|=\sqrt{29} r = MP = 29
K : ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 29 K:\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29 K : ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 29
Vorgehen bei typischen Aufgaben Kreis- oder Kugelgleichung in Standardform (Normalform) umwandeln VORGEHEN 1.
Bei allen Variablen quadratisch ergänzen, sodass Terme der Form ( x − x M ) 2 , ( y − y M ) 2 \left(x-x_M\right)^2,\left(y-y_M\right)^2\ ( x − x M ) 2 , ( y − y M ) 2 und ( z − z M ) 2 \left(z-z_M\right)^2 ( z − z M ) 2 entstehen.
2.
Gleichung in gewünschte Form bringen:
Klammern auf die linke Seite Zahlen auf die rechte Seite 3.
Radius und Koordinaten des Mittelpunkts lassen sich ablesen.
Tipp 1: Für das quadratische Ergänzen wiederhole die Binomische Formeln.
Tipp 2: Ist die Radiusseite negativ, so handelt es sich nicht um einen Kreis.
Beispiel - Kreis Gleichung: x 2 + y 2 + 6 x − 4 y = 12 \ x^2+y^2+6x-4y=12 x 2 + y 2 + 6 x − 4 y = 12
Quadratische Ergänzung:
x 2 + 6 x + 9 − 9 ⏟ e r g a ¨ n z t + y 2 − 4 y + 4 − 4 ⏟ e r g a ¨ n z t = 12 x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}+y2-4y\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}=12 x 2 + 6 x er g a ¨ n z t + 9 − 9 + y 2 − 4 y er g a ¨ n z t + 4 − 4 = 12
( x + 3 ) 2 − 9 + ( y − 2 ) 2 − 4 = 12 {(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12 ( x + 3 ) 2 − 9 + ( y − 2 ) 2 − 4 = 12
Kreisgleichung:
( x + 3 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25 \left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25 ( x + 3 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25
r = 5 M ( − 3 , 2 ) r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3,2) r = 5 M ( − 3 , 2 )
Beispiel - Kugel Gleichung: x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 8 y + 6 z + 4 = 0 \ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0 x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 8 y + 6 z + 4 = 0
Quadratische Ergänzung:
x 2 + 4 x + 4 − 4 ⏟ e r g a ¨ n z t + y 2 − 8 y + 16 − 16 ⏟ e r g a ¨ n z t + z 2 + 6 z + 9 − 9 ⏟ e r g a ¨ n z t = − 4 x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}+y2-8y\underbrace{+ 16-16}_{ergänzt}+z2+6z\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}=-4 x 2 + 4 x er g a ¨ n z t + 4 − 4 + y 2 − 8 y er g a ¨ n z t + 16 − 16 + z 2 + 6 z er g a ¨ n z t + 9 − 9 = − 4
( x + 2 ) 2 − 4 + ( y − 4 ) 2 − 16 + ( z − 3 ) 2 − 9 + 4 = 0 {(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0 ( x + 2 ) 2 − 4 + ( y − 4 ) 2 − 16 + ( z − 3 ) 2 − 9 + 4 = 0
Kreisgleichung
( x + 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 25 {(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25 ( x + 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 25
r = 5 M ( − 3 , 4 , 3 ) r=5\ \ \ \ \ \ M(-3,4,3) r = 5 M ( − 3 , 4 , 3 )