Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

2-Dimensional: Kreise

Standardform (Normalform)

$$K:\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$$​​

Mittelpunkt in $$M(x_M|y_M)$$​ und Radius r.

Hinweis: Kreise beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt $$M(2|1)$$​ und Radius $$r=2$$​:

$$K:\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$$​​

3-Dimensional: Kugeln

Standardform (Normalform)

$$K:\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$$​​

Mittelpunkt in $$M(x_M|y_M|z_M)$$​ und Radius r.

Hinweis: Kugeln beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt $$M(1|-2|4)$$​ und Radius $$r=3$$​:

$$K:\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9$$​​

Kreis- und Kugelgleichungen aufstellen

Kreisgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf dem Kreis sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$M\left(3,2\right)$$​ und $$P\left(0,-2\right)$$​

Radius: $$r=\left|\vec{MP}\right|=5$$​

Kugelgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf der Kugel sind gegeben.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$M\left(-2,2,1\right),\ P\left(1,-2,-1\right)$$

Radius: $$r=\left|\vec{MP}\right|=\sqrt{29}$$​ 

$$K:\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29$$​​

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Kreis- oder Kugelgleichung in Standardform (Normalform) umwandeln

VORGEHEN

Tipp 1: Für das quadratische Ergänzen wiederhole die Binomische Formeln.

Tipp 2: Ist die Radiusseite negativ, so handelt es sich nicht um einen Kreis.

Beispiel - Kreis

Gleichung: $$\ x^2+y^2+6x-4y=12$$​

Quadratische Ergänzung:

$$x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}+y2-4y\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}=12$$​​

$${(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12$$​​

Kreisgleichung:

$$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​​

$$r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3,2)$$​​

Beispiel - Kugel

Gleichung: $$\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0$$​

Quadratische Ergänzung:

$$x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}+y2-8y\underbrace{+ 16-16}_{ergänzt}+z2+6z\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}=-4$$​​

$${(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0$$​​

Kreisgleichung

$${(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25$$​​

$$r=5\ \ \ \ \ \ M(-3,4,3)$$​​