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Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

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Erklärvideo

Lehrperson: Severina
Lehrperson: Severina

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

2-Dimensional: Kreise

Standardform (Normalform)

K:   (x−xM)2+(y−yM)2=r2K:\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2K:   (x−xM​)2+(y−yM​)2=r2​​


Mittelpunkt in M(xM∣yM)M(x_M|y_M)M(xM​∣yM​)​ und Radius r.


Hinweis: Kreise beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.


Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt M(2∣1)M(2|1)M(2∣1)​ und Radius r=2r=2r=2​:

K:    (x−2)2+(y−1)2=4K:\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4K:    (x−2)2+(y−1)2=4​​



3-Dimensional: Kugeln

Standardform (Normalform)

K:    (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2=r2K:\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2K:    (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2=r2​​


Mittelpunkt in M(xM∣yM∣zM)M(x_M|y_M|z_M)M(xM​∣yM​∣zM​)​ und Radius r.


Hinweis: Kugeln beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.


Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt M(1∣−2∣4)M(1|-2|4)M(1∣−2∣4)​ und Radius r=3r=3r=3​:

K:    (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=9K:\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9K:    (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=9​​




Kreis- und Kugelgleichungen aufstellen

Kreisgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf dem Kreis sind gegeben.


VORGEHEN

1.

Radius r berechnen: Abstand von M zu P.

2.

Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.


Beispiel

Gegeben: M(3,2)M\left(3,2\right)M(3,2)​ und P(0,−2)P\left(0,-2\right)P(0,−2)​

Radius: r=∣MP⃗∣=5r=\left|\vec{MP}\right|=5r=​MP​=5​



Kugelgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf der Kugel sind gegeben.


VORGEHEN

1.

Radius r berechnen: Abstand von M zu P.

2.

Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.


Beispiel

Gegeben: M(−2,2,1), P(1,−2,−1)M\left(-2,2,1\right),\ P\left(1,-2,-1\right)M(−2,2,1), P(1,−2,−1)

Radius: r=∣MP⃗∣=29r=\left|\vec{MP}\right|=\sqrt{29}r=​MP​=29​​ 

K:    (x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=29K:\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29K:    (x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=29​​



Vorgehen bei typischen Aufgaben

Kreis- oder Kugelgleichung in Standardform (Normalform) umwandeln

VORGEHEN

1.

Bei allen Variablen quadratisch ergänzen, sodass Terme der Form (x−xM)2,(y−yM)2 \left(x-x_M\right)^2,\left(y-y_M\right)^2\ (x−xM​)2,(y−yM​)2  und (z−zM)2\left(z-z_M\right)^2(z−zM​)2​ entstehen.

2.

Gleichung in gewünschte Form bringen:

  • Klammern auf die linke Seite
  • Zahlen auf die rechte Seite

3.

Radius und Koordinaten des Mittelpunkts lassen sich ablesen.


Tipp 1: Für das quadratische Ergänzen wiederhole die Binomische Formeln.


Tipp 2: Ist die Radiusseite negativ, so handelt es sich nicht um einen Kreis.


Beispiel - Kreis

Gleichung:  x2+y2+6x−4y=12\ x^2+y^2+6x-4y=12 x2+y2+6x−4y=12​


Quadratische Ergänzung:

x2+6x+9−9⏟erga¨nzt+y2−4y+4−4⏟erga¨nzt=12x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}+y2-4y\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}=12x2+6xerga¨nzt+9−9​​+y2−4yerga¨nzt+4−4​​=12​​


(x+3)2−9+(y−2)2−4=12{(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12(x+3)2−9+(y−2)2−4=12​​


Kreisgleichung:

(x+3)2+(y−2)2=25\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25(x+3)2+(y−2)2=25​​


r=5       M(−3,2)r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3,2)r=5       M(−3,2)​​


Beispiel - Kugel

Gleichung:  x2+y2+z2+4x−8y+6z+4=0\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0 x2+y2+z2+4x−8y+6z+4=0​


Quadratische Ergänzung:

x2+4x+4−4⏟erga¨nzt+y2−8y+16−16⏟erga¨nzt+z2+6z+9−9⏟erga¨nzt=−4x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}+y2-8y\underbrace{+ 16-16}_{ergänzt}+z2+6z\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}=-4x2+4xerga¨nzt+4−4​​+y2−8yerga¨nzt+16−16​​+z2+6zerga¨nzt+9−9​​=−4​​


(x+2)2−4+(y−4)2−16+(z−3)2−9+4=0{(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0(x+2)2−4+(y−4)2−16+(z−3)2−9+4=0​​


Kreisgleichung

(x+2)2+(y−4)2+(z−3)2=25{(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25(x+2)2+(y−4)2+(z−3)2=25​​


r=5      M(−3,4,3)r=5\ \ \ \ \ \ M(-3,4,3)r=5      M(−3,4,3)​​




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Dauer:
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 2

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Kreisgleichung?

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P sind auf dem Kreis gegeben. 1. Radius "r" berechnen. Abstand von "M" zu "P". 2. Radius "r" und Mittelpunkt in die Kreisgleichung einsetzen

Wie berechnet man die Kugelgleichung?

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P sind auf der Kugel gegeben. 1. Radius "r" berechnen. Abstand von "M" zu "P". 2. Radius "r" und Mittelpunkt in die Kugelgleichung einsetzen

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