Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

2-Dimensional: Kreise

Standardform (Normalform)

$K:\ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$

Mittelpunkt in $M(x_M|y_M)$ und Radius r.

Hinweis: Kreise beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt $M(2|1)$ und Radius $r=2$ :

$K:\ \ \ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$

3-Dimensional: Kugeln

Standardform (Normalform)

$K:\ \ \ \ \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$

Mittelpunkt in $M(x_M|y_M|z_M)$ und Radius r.

Hinweis: Kugeln beschreiben alle Punkte, die denselben Abstand (Radius) vom Mittelpunkt haben. Die Formel basiert auf dem Satz von Pythagoras.

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Beispiel

Kreis mit Mittelpunkt $M(1|-2|4)$ und Radius $r=3$ :

$K:\ \ \ \ \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9$

Kreis- und Kugelgleichungen aufstellen

Kreisgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf dem Kreis sind gegeben.

VORGEHEN

1.	Radius r berechnen: Abstand von M zu P.
2.	Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.

Beispiel

Gegeben: $M\left(3,2\right)$ und $P\left(0,-2\right)$

Radius: $r=\left|\vec{MP}\right|=5$

Kugelgleichung

Der Mittelpunkt M und ein Punkt P auf der Kugel sind gegeben.

VORGEHEN

1.	Radius r berechnen: Abstand von M zu P.
2.	Radius r und Mittelpunkt M in die Kreisgleichung einsetzen.

Beispiel

Gegeben: $M\left(-2,2,1\right),\ P\left(1,-2,-1\right)$

Radius: $r=\left|\vec{MP}\right|=\sqrt{29}$

$K:\ \ \ \ \left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=29$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Kreis- oder Kugelgleichung in Standardform (Normalform) umwandeln

VORGEHEN

1.

Bei allen Variablen quadratisch ergänzen, sodass Terme der Form $\left(x-x_M\right)^2,\left(y-y_M\right)^2\$ und $\left(z-z_M\right)^2$ entstehen.

2.

Gleichung in gewünschte Form bringen:

Klammern auf die linke Seite
Zahlen auf die rechte Seite

3.

Radius und Koordinaten des Mittelpunkts lassen sich ablesen.

Tipp 1: Für das quadratische Ergänzen wiederhole die Binomische Formeln.

Tipp 2: Ist die Radiusseite negativ, so handelt es sich nicht um einen Kreis.

Beispiel - Kreis

Gleichung: $\ x^2+y^2+6x-4y=12$

Quadratische Ergänzung:

$x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}+y2-4y\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}=12$

${(x+3)}^2-9+{(y-2)}^2-4=12$

Kreisgleichung:

$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$

$r=5\ \ \ \ \ \ \ M(-3,2)$

Beispiel - Kugel

Gleichung: $\ x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z+4=0$

Quadratische Ergänzung:

$x^2+4x\underbrace{+ 4-4}_{ergänzt}+y2-8y\underbrace{+ 16-16}_{ergänzt}+z2+6z\underbrace{+ 9-9}_{ergänzt}=-4$

${(x+2)}^2-4+{(y-4)}^2-16+{(z-3)}^2-9+4=0$

Kreisgleichung

${(x+2)}^2+{(y-4)}^2+{(z-3)}^2=25$

$r=5\ \ \ \ \ \ M(-3,4,3)$