Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert
Monotonie
Die Monotonie einer Folge beschreibt die Art des Wachstums zwischen den Folgegliedern.
Arten von Monotonie
MONOTON STEIGEND | an+1≥an | Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer grösser oder gleich seinem Vorgänger ist. |
MONOTON FALLEND | an+1≤an | Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer kleiner oder gleich seinem Vorgänger ist. |
Monotonie bestimmen
1. | Bestimme den Term an−an+1 Tipp: Setze bei an für n den Term n+1 ein, um an+1 zu erhalten. |
2. | Vereinfache den Term so weit wie möglich. |
3. | Prüfe, ob Folgendes gilt: an−an+1>0 | Monoton fallend | an−an+1<0 | Monoton wachsend | Ansonsten ist die Folge weder monoton fallend noch monoton wachsend. |
Beispiel
Bestimme die Monotonie der Folge an=n1 für n∈N.
Schritt 1 & 2: an−an+1=n1−n+11=n(n+1)n+1−n(n+1)n=n(n+1)1>0
Der Term ist positiv für alle Werte von n, die Folge ist also monoton fallend.
Beschränkung
Die Beschränkung beschreibt mögliche Grenzen der Werte in der Folge. Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht über einen bestimmten Wert hinausgeht oder einen bestimmten Wert nicht unterschreitet, egal welches n man einsetzt.
Arten von Beschränkung
NACH OBEN BESCHRÄNKT | soben≥an, für n∈N | Die Werte der Folge gehen nicht über eine Obergrenze (soben) hinaus. |
NACH UNTEN BESCHRÄNKT | sunten≤an, für n∈N | Die Werte der Folge gehen nicht unter eine Untergrenze (sunten). |
Beispiel
Bestimme die Obergrenze der Folge an=n1 für n∈N.
Die Folge ist, wie im vorherigen Beispiel, bestimmt monoton fallend. Die Obergrenze ist also der Startwert (n=1), da alle weiteren Werte der Folge kleiner sind als der Startwert:
a1=11=1=soben
Grenzwert
Definition
Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Folge annähert, wenn die Nummer des Folgeglieds gegen unendlich grosse Zahlen geht.
MÖGLICHKEITEN Die Folge nähert sich einer einzigen reellen Zahl an: -
Man sagt ein Grenzwert existiert.
-
Solche Folgen sind konvergent.
Die Folge geht gegen eine Unendlichkeit: -
Der Grenzwert existiert nicht.
-
Solche Folgen sind divergent.
Die Folge nähert sich mehreren Zahlen an: -
Kein Grenzwert existiert.
-
Die Folge an=(−1)n ist weder konvergent noch divergent.
Wenn eine Folge -
monoton steigend und nach oben beschränkt ist,
-
monoton fallend und nach unten beschränkt ist,
dann konvergiert die Folge. | |
Der Limes
Der Limes ist eine mathematische Methode um Laufvariablen (hier n) stetig gegen einen bestimmten Wert laufen zu lassen, um zu überprüfen, wie sich ein Term T dadurch ändert.
Um n stetig gegen ∞ laufen zu lassen schreiben wir:
n→∞limT
Um n stetig gegen -∞ laufen zu lassen schreiben wir:
n→−∞limT
Grenzwert berechnen
Für explizit dargestellte Folgen:
VORGEHEN
1. | Setze die explizite Formel der Folge in den Limes: g=n→∞liman |
2. | Berechne den Wert von an für n→∞: Setze für n ein und rechne mit . Tipp 1: Erhält man ∞∞, 00 oder ∞∙0, so muss man den Term umwandeln.
Tipp 2: Bei Brüchen hilft es oft,n auszuklammern. |
Beispiel
Grenzwert von an=12n28n2+4
Limes berechnen:
g=n→∞lim12n28n2+4=12∞28∞2+4≈∞∞
Also müssen wir den Term umwandeln:
Grenzwertsätze
Folgende Regeln gelten für die Grenzwerte von Folgen: