Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Monotonie

Die Monotonie einer Folge beschreibt die Art des Wachstums zwischen den Folgegliedern.

Arten von Monotonie

MONOTON STEIGEND	$a_{n+1}\geq a_n$	Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer grösser oder gleich seinem Vorgänger ist.
MONOTON FALLEND	$a_{n+1}\le a_n$	Für alle Folgeglieder gilt, dass der Nachfolger immer kleiner oder gleich seinem Vorgänger ist.

Monotonie bestimmen

1.

Bestimme den Term ${a_n-a}_{n+1}$

Tipp: Setze bei $a_n$ für $n$ den Term $n+1$ ein, um $a_{n+1}$ zu erhalten.

2.

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

3.

Prüfe, ob Folgendes gilt:

${a_n-a}_{n+1}>0$	Monoton fallend
${a_n-a}_{n+1}<0$	Monoton wachsend

Ansonsten ist die Folge weder monoton fallend noch monoton wachsend.

Beispiel

Bestimme die Monotonie der Folge $a_n=\frac{1}{n}$ für $n\in\mathbb{N}$ .

Schritt 1 & 2: ${a_n-a}_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0$

Der Term ist positiv für alle Werte von $n$ , die Folge ist also monoton fallend.

Beschränkung

Die Beschränkung beschreibt mögliche Grenzen der Werte in der Folge. Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht über einen bestimmten Wert hinausgeht oder einen bestimmten Wert nicht unterschreitet, egal welches $n$ man einsetzt.

Arten von Beschränkung

NACH OBEN BESCHRÄNKT	$s_{oben}\geq a_n$ , für $n\in\mathbb{N}$	Die Werte der Folge gehen nicht über eine Obergrenze ( $s_{oben}$ ) hinaus.
NACH UNTEN BESCHRÄNKT	$s_{unten}\le a_n$ , für $n\in\mathbb{N}$	Die Werte der Folge gehen nicht unter eine Untergrenze ( $s_{unten}$ ).

Beispiel

Bestimme die Obergrenze der Folge $a_n=\frac{1}{n}$ für $n\in\mathbb{N}$ .

Die Folge ist, wie im vorherigen Beispiel, bestimmt monoton fallend. Die Obergrenze ist also der Startwert ( $n=1$ ), da alle weiteren Werte der Folge kleiner sind als der Startwert:

$a_1=\frac{1}{1}=\underline{1=s_{oben}}$

Grenzwert

Definition

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Folge annähert, wenn die Nummer des Folgeglieds gegen unendlich grosse Zahlen geht.

MÖGLICHKEITEN

Die Folge nähert sich einer einzigen reellen Zahl an:

Man sagt ein Grenzwert existiert.
Solche Folgen sind konvergent.

Die Folge geht gegen eine Unendlichkeit:

Der Grenzwert existiert nicht.
Solche Folgen sind divergent.

Die Folge nähert sich mehreren Zahlen an:

Kein Grenzwert existiert.
Die Folge $a_n=\left(-1\right)^n$ ist weder konvergent noch divergent.

Wenn eine Folge

monoton steigend und nach oben beschränkt ist,
monoton fallend und nach unten beschränkt ist,

dann konvergiert die Folge.

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Der Limes

Der Limes ist eine mathematische Methode um Laufvariablen (hier $n$ ) stetig gegen einen bestimmten Wert laufen zu lassen, um zu überprüfen, wie sich ein Term $T$ dadurch ändert.

Um $n$ stetig gegen $\infty$ laufen zu lassen schreiben wir:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T$

Um $n$ stetig gegen - $\infty$ laufen zu lassen schreiben wir:

$\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}T$

Grenzwert berechnen

Für explizit dargestellte Folgen:

VORGEHEN

1.

Setze die explizite Formel der Folge in den Limes: $g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}$

2.

Berechne den Wert von $a_n$ für $n\rightarrow\infty$ : Setze für $n$ ein und rechne mit .

Tipp 1: Erhält man $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}\$ oder $\infty\bullet\mathbf{0}$ , so muss man den Term umwandeln.

Tipp 2: Bei Brüchen hilft es oft, $n$ auszuklammern.

Beispiel

Grenzwert von $a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}$ 

Limes berechnen:

$g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}$ 

Also müssen wir den Term umwandeln:

Mathematik; Folgen und Reihen; IMS; Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Grenzwertsätze

Folgende Regeln gelten für die Grenzwerte von Folgen:

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