Substitution bei verschachtelten Funktionen

Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^\prime\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

Vorgehen

1.	Ersetze einen Teil des Terms als $z$ . Tipps: Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.	Bilde die «Ableitung» von $z$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Löse den Term nach $dx$ auf: $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Integral neu aufstellen: Ersetze den gewählten Term mit $z$ Ersetze $dx$ im Integral mit dem Term aus $3$ . Setze die Grenzen in den Term von $z$ ein. *Tipp:* Es sollte keine $x$ * mehr im Integral vorkommen.*
5.	Integriere nach $z$ .

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $z$ nach der Integration wieder mit dem Term für $z$ .

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot \left(3x+1\right)dx}=$

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=3x^2+2x-1$ 

Ableitung nach x:

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$\int_{3\cdot 2^2+2\cdot 2-1}^{3\cdot 3^2+2\cdot 3-1}{\sqrt z\cdot \left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot \frac{1}{2}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Ausrechnen:

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot {32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot {15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97$ 

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=x^2+1$ 

Ableitung:

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Einsetzen:

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot \frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}$ 

Ersetzen von z:

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}$ 

Es gilt also:

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c$ 