Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.
Formel
∫abf(g(x))⋅g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(z)dz
Vorgehen
1.
Ersetze einen Teil des Terms als z.
Tipps:
Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm.
Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel.
Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.
Bilde die «Ableitung» von z:
dxdz=…
3.
Löse den Term nach dx auf: dx=…dz
4.
Integral neu aufstellen:
Ersetze den gewählten Term mit z
Ersetze dx im Integral mit dem Term aus 3.
Setze die Grenzen in den Term von z ein.
Tipp: Es sollte keine x mehr im Integral vorkommen.
5.
Integriere nach z.
Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das z nach der Integration wieder mit dem Term für z.
Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel
∫x2+12xdx
Substitution (Term in der Wurzel):
z=x2+1
Ableitung:
dxdz=2x
Umformen:
dx=2xdz
Einsetzen:
∫z2x⋅2xdz=∫z1dz
Integration nach z:
=∫z−21dz=2z21
Ersetzen von z:
=2(x2+1)21=2x2+1
Es gilt also:
∫x2+12xdx=2x2+1+c
Substitution bei verschachtelten Funktionen
Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.
Formel
∫abf(g(x))⋅g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(z)dz
Vorgehen
1.
Ersetze einen Teil des Terms als z.
Tipps:
Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm.
Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel.
Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.
Bilde die «Ableitung» von z:
dxdz=…
3.
Löse den Term nach dx auf: dx=…dz
4.
Integral neu aufstellen:
Ersetze den gewählten Term mit z
Ersetze dx im Integral mit dem Term aus 3.
Setze die Grenzen in den Term von z ein.
Tipp: Es sollte keine x mehr im Integral vorkommen.
5.
Integriere nach z.
Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das z nach der Integration wieder mit dem Term für z.
