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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

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Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Kurvenscharen und Ortskurve

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Rotationsvolumen: Definition und Formel

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

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Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

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Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

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Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung

Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

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Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment

Statistik

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Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

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Folgen und Reihen

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen

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Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Matrizen

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^\prime\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

Vorgehen

1.	Ersetze einen Teil des Terms als $z$ . Tipps: Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.	Bilde die «Ableitung» von $z$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Löse den Term nach $dx$ auf: $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Integral neu aufstellen: Ersetze den gewählten Term mit $z$ Ersetze $dx$ im Integral mit dem Term aus $3$ . Setze die Grenzen in den Term von $z$ ein. *Tipp:* Es sollte keine $x$ * mehr im Integral vorkommen.*
5.	Integriere nach $z$ .

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $z$ nach der Integration wieder mit dem Term für $z$ .

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot \left(3x+1\right)dx}=$

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=3x^2+2x-1$ 

Ableitung nach x:

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$\int_{3\cdot 2^2+2\cdot 2-1}^{3\cdot 3^2+2\cdot 3-1}{\sqrt z\cdot \left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot \frac{1}{2}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Ausrechnen:

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot {32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot {15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97$ 

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=x^2+1$ 

Ableitung:

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Einsetzen:

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot \frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}$ 

Ersetzen von z:

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}$ 

Es gilt also:

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c$ 

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 2

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Abkürzung

Teil 3

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Finaler Test

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

∫_a^b f(g(x))∙g'(x)dx =∫_g(a)^g(b) f(z)dz

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

Du kannst die Substitutionsmethode anwenden, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht.

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Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Kurvenscharen und Ortskurve

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Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^\prime\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

Vorgehen

1.	Ersetze einen Teil des Terms als $z$ . Tipps: Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.	Bilde die «Ableitung» von $z$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Löse den Term nach $dx$ auf: $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Integral neu aufstellen: Ersetze den gewählten Term mit $z$ Ersetze $dx$ im Integral mit dem Term aus $3$ . Setze die Grenzen in den Term von $z$ ein. *Tipp:* Es sollte keine $x$ * mehr im Integral vorkommen.*
5.	Integriere nach $z$ .

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $z$ nach der Integration wieder mit dem Term für $z$ .

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot \left(3x+1\right)dx}=$

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=3x^2+2x-1$ 

Ableitung nach x:

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$\int_{3\cdot 2^2+2\cdot 2-1}^{3\cdot 3^2+2\cdot 3-1}{\sqrt z\cdot \left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot \frac{1}{2}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Ausrechnen:

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot {32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot {15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97$ 

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=x^2+1$ 

Ableitung:

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Einsetzen:

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot \frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Integration nach z:

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}$ 

Ersetzen von z:

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}$ 

Es gilt also:

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c$ 

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Teil 2

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Abkürzung

Teil 3

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Finaler Test

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

∫_a^b f(g(x))∙g'(x)dx =∫_g(a)^g(b) f(z)dz

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

Du kannst die Substitutionsmethode anwenden, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht.