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Integralrechnung

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Substitution bei verschachtelten Funktionen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Die Substitution ist dann anwendbar, wenn man erkennt, dass das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitution wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten. 


Formel

abf(g(x))g(x)dx=g(a)g(b)f(z)dz\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^\prime\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz​​


Vorgehen

1.

​Ersetze einen Teil des Terms als zz​. 

Tipps:

  • Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm.
  • Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. der Wurzel. 
  • Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

2.

​Bilde die «Ableitung» von zz​:

dzdx= \frac{dz}{dx}=\ \ldots​​

3.

Löse den Term nach dxdx​ auf: dx=  dzdx=\ \ldots\ dz​​

4.

​Integral neu aufstellen: 

  • Ersetze den gewählten Term mit zz​ 
  • Ersetze dxdx​ im Integral mit dem Term aus 33​. 
  • Setze die Grenzen in den Term von zz​ ein. 

Tipp: Es sollte keine xx​ mehr im Integral vorkommen.

5.

​Integriere nach zz​.


Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das zz​ nach der Integration wieder mit dem Term für zz​.



Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel 


233x2+2x1(3x+1)dx=\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot \left(3x+1\right)dx}= ​​


Substitution (Term in der Wurzel): 

z=3x2+2x1z=3x^2+2x-1

 

Ableitung nach x: 

dzdx=6x+2\frac{dz}{dx}=6x+2​ 


Umformen: 

dx=dz6x+2dx=\frac{dz}{6x+2}


Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen: 


322+221332+231z(3x+1) dz6x+2=1532z12 dz\int_{3\cdot 2^2+2\cdot 2-1}^{3\cdot 3^2+2\cdot 3-1}{\sqrt z\cdot \left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot \frac{1}{2}\ dz}​ 


Integration nach z: 

=12 1532 z12 dz=12 [23z32]1532=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}​ 


Ausrechnen:  

=12 (233232231532)40.97=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot {32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot {15}^\frac{3}{2}\right)\approx40.97​ 




Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel


2xx2+1dx\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}​ 


Substitution (Term in der Wurzel): 

z=x2+1z=x^2+1


Ableitung: 

dzdx=2x\frac{dz}{dx}=2x​ 


Umformen: 

dx=dz2xdx=\frac{dz}{2x}​ 


Einsetzen: 

2xzdz2x=1z dz\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot \frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}​ 


Integration nach z: 

=z12 dz=2z12=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}


Ersetzen von z: 

=2(x2+1)12=2x2+1=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}=2\sqrt{x^2+1}​ 


Es gilt also: 

2xx2+1dx=2x2+1+c\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=2\sqrt{x^2+1}+c



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

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