Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Spurpunkte

Definition

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Berechnung

1.	Setze die jeweilige Komponente in der der Geradengleichung gleich null: Für Spurpunkte mit: $$xy$$​-Ebene ​$$z=0$$​​ $$xz$$​-Ebene ​$$y=0$$​​ $$yz$$​-Ebene ​$$x=0$$​​
2.	Berechne den Streckfaktor.
3.	Setze den Streckfaktor in die Geradengleichung ein. Der resultierende Vektor ist der Ortsvektor des Spurpunkts.

Beispiel

Spurpunkt von $$g:\ \left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)\ =\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\ +s\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\3\\\end{matrix}\right)$$​ auf der $$xz-Ebene$$​.

Gleichung für $$y=0$$​ lösen:

$$0=1+s\cdot1$$​​

Streckfaktor: $$s=-1.$$​

Ortsvektor bestimmen

$$\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\ +\left(-1\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\\-5\\\end{matrix}\right)$$​​

Spurpunkt: $$S_P(-1,0,-5)$$​

Achsenabschnitte

Definition

Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.

Berechnung der Achsenabschnitte bei der Koordinatenform

Beispiel

Achsenabschnitt von $$E:\ -8x-2y+3z=-20\$$auf der $$x-Achse.$$​​

$$y=0,\ z=0$$​ setzen und die dritte Komponente bestimmen:

$$-8x=-20\rightarrow x=2.5$$​​

x-Achsenabschnitt:

$$P(2.5,0,0)$$​​

Berechnung der Achsenabschnitte bei der Parameterform

Beispiel

Achsenabschnitt von $$E:\ \ \ \left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\2\\\end{matrix}\right)\ +s\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\4\\\end{matrix}\right)\ +t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\$$  auf der : $$x-Achse:$$​

$$y=0,z=0$$​ setzen und die Streckfaktoren bestimmen:

$$y$$​-Komponenten Gleichung: $$0=1+s\cdot2+t\cdot1$$​

$$z$$​-Komponenten Gleichung: $$0=2+s\cdot4+t\cdot(-2)$$​

Streckfaktoren: $$s=-0.5,\ t=0$$​

x-Achsenabschnitt: $$\left(\begin{matrix}2.5\\0\\0\\\end{matrix}\right)$$​

​​

Spurgeraden

Definition

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Berechnung der Spurgeraden bei der Koordinatenform

Beispiel

Spurgerade der Ebene $$E:\ -8x-2y+3z=-20\$$​ auf der $$xy-Ebene$$​: 

Achsenabschnitt bestimmen:

x-Achsenabschnitt: $$P\left(2.5,0,0\right)$$​

y-Achsenabschnitt: $$P'(0,10,0)$$​

Verbindungsvektor: $$\vec{PP'}= \vec{u}=\ \left(\begin{matrix}-2.5\\10\\0\\\end{matrix}\right)$$​

Spurgerade $$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{OP}+t\cdot\vec{u}=\left(\begin{matrix}2.5\\0\\0\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-2.5\\10\\0\\\end{matrix}\right)$$​