Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Spurpunkte

Definition

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

Berechnung

1.

Setze die jeweilige Komponente in der der Geradengleichung gleich null:

Für Spurpunkte mit:

$xy$ -Ebene	$z=0$
$xz$ -Ebene	$y=0$
$yz$ -Ebene	$x=0$

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

2.

Berechne den Streckfaktor.

3.

Setze den Streckfaktor in die Geradengleichung ein. Der resultierende Vektor ist der Ortsvektor des Spurpunkts.

Beispiel

Spurpunkt von $g:\ \left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)\ =\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\ +s\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\3\\\end{matrix}\right)$ auf der $xz-Ebene$ .

Gleichung für $y=0$ lösen:

$0=1+s\cdot1$

Streckfaktor: $s=-1.$

Ortsvektor bestimmen

$\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\ +\left(-1\right)\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\\-5\\\end{matrix}\right)$

Spurpunkt: $S_P(-1,0,-5)$

Achsenabschnitte

Definition

Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.

Berechnung der Achsenabschnitte bei der Koordinatenform

1.

Setze jeweils zwei Koordinaten in der Koordinatengleichung gleich 0.

Berechne die dritte Komponente.

2.

Setze die drei Komponenten als Punkt zusammen.

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Beispiel

Achsenabschnitt von $E:\ -8x-2y+3z=-20\$ auf der $x-Achse.$

$y=0,\ z=0$ setzen und die dritte Komponente bestimmen:

$-8x=-20\rightarrow x=2.5$

x-Achsenabschnitt:

$P(2.5,0,0)$

Berechnung der Achsenabschnitte bei der Parameterform

1.	Setze jeweils zwei Koordinaten in der Parametergleichung 0.
2.	Löse das Gleichungssystem. Berechne $s$ und $t.$
3.	Bestimme den Schnittpunkt durch die Werte von $s$ und $t.$

Beispiel

Achsenabschnitt von $E:\ \ \ \left(\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\2\\\end{matrix}\right)\ +s\cdot\left(\begin{matrix}1\\2\\4\\\end{matrix}\right)\ +t\cdot\left(\begin{matrix}-1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)\$ auf der : $x-Achse:$

$y=0,z=0$ setzen und die Streckfaktoren bestimmen:

$y$ -Komponenten Gleichung: $0=1+s\cdot2+t\cdot1$

$z$ -Komponenten Gleichung: $0=2+s\cdot4+t\cdot(-2)$

Streckfaktoren: $s=-0.5,\ t=0$

x-Achsenabschnitt: $\left(\begin{matrix}2.5\\0\\0\\\end{matrix}\right)$

Spurgeraden

Definition

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Berechnung der Spurgeraden bei der Koordinatenform

1.

Bestimme die beiden Achsenabschnitte P und P' auf der jeweiligen Koordinatenebene. (siehe Vorgehen oben)

Koordinatenebene	in Koordinatenform	Achsenabschnitte
xy-Ebene	$z=0$	x und y
yz-Ebene	$x=0$	y und z
xz-Ebene	$y=0$	x und z

2.

Berechne den Verbindungsvektor $\vec{PP'}\$ der beiden Achsenabschnitte.

3.

Erstelle die Geradengleichung der Spurgerade:

Richtungsvektor: $\vec{v}=\vec{PP'}\$
Stützvektor: $\vec{p}=\vec{0P}\$

Beispiel

Spurgerade der Ebene $E:\ -8x-2y+3z=-20\$ auf der $xy-Ebene$ :

Achsenabschnitt bestimmen:

x-Achsenabschnitt: $P\left(2.5,0,0\right)$

y-Achsenabschnitt: $P'(0,10,0)$

Verbindungsvektor: $\vec{PP'}= \vec{u}=\ \left(\begin{matrix}-2.5\\10\\0\\\end{matrix}\right)$

Spurgerade $g:\ \ \ \vec{x}=\vec{OP}+t\cdot\vec{u}=\left(\begin{matrix}2.5\\0\\0\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}-2.5\\10\\0\\\end{matrix}\right)$