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Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

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Zusammenfassung

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Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Geradengleichung

Darstellung einer Geraden mit Vektoren

​g:   x⃗=p⃗+t⋅u⃗,    t∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}​​

Mathematik; Vektorgeometrie; Passerelle; Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform
​p⃗\vec{p}​​

«Stützvektor»: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.
​u⃗\vec{u}​​

«Richtungsvektor»: Beliebiger Vektor parallel zur Geraden.
​tt​​

«Streckfaktor»: Verlängert oder verkürzt den Richtungsvektor beliebig.

​


Bedeutung

Mit Veränderung des Streckfaktors  kann man jeden Punkt auf der Geraden beschreiben.

Mathematik; Vektorgeometrie; Passerelle; Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform


Hinweis: Im Gegensatz zu einer Geraden aus der Analysis kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Gerade haben.


Jeder Punkt auf der Geraden kann Stützvektor  sein.

Jeder Vektor parallel zur Geraden kann Richtungsvektor  sein.


Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge zu erhalten, indem man alle durch die gleiche Zahl teilt.



Geraden im 2-Dimensionalen

Darstellungsformen:

Parameterform

​g:   x⃗=(pxpy)+t⋅(uxuy),    s∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}u_x\\u_y\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s\in\mathbb{R}​​

Koordinatenform

​g:   ax+by=cg:   (ab)⏟n⃗⋅(xy)=cg:\ \ \ ax+by=c\\g:\ \ \ \underbrace{\left(\begin{matrix}a\\b\\\end{matrix}\right)}_{\vec{n}}\cdot\left(\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right)=c​​


n⃗\vec{n}​ senkrecht zu u⃗\vec{u}.

​


Geraden im 3-Dimensionalen

Darstellung der Geraden:

Parameterform

​g:   x⃗=(pxpypz)+t⋅(uxuyuz),    s∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\left(\begin{matrix}p_x\\p_y\\p_z\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}u_x\\u_y\\u_z\\\end{matrix}\right),\ \ \ \ s\in\mathbb{R}​​


Geraden aufstellen

Anhand von zwei Punkten

Zwei beliebige Punkte A und B auf der Geraden sind gegeben.


VORGEHEN

1.

Verbindungsvektor von A und B berechnen.

​AB⃗=(bx−axby−aybz−az)\vec{AB}=\left(\begin{matrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\\\end{matrix}\right)​​

2.

Gerade aufstellen:

Stützvektor: p⃗=0A⃗\vec{p}=\vec{0A}​ oder  0B⃗\ \vec{0B}​

Richtungsvektor: u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{AB}​


Beispiel

Gegeben: A(2∣4∣1)A(2|4|1)​ und  B(3∣2∣2)\ B(3|2|2)​


Verbindungsvektor:

AB⃗=(3−22−42−1)=(1−21)\vec{AB}=\left(\begin{matrix}3-2\\2-4\\2-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\\\end{matrix}\right)​​


Geradengleichung:

g:   x⃗=p⃗+t⋅u⃗=(241)+t⋅(1−21) , t∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}=\left(\begin{matrix}2\\4\\1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\\\end{matrix}\right)\ ,\ t\in\mathbb{R}​​


Anhand von Richtungsvektor und Punkt

Oftmals wird dir ein Punkt A gegeben und ein Vektor  welche «parallel» zur Geraden ist.


VORGEHEN

Gerade direkt aufstellen:

Punkt als Stützvektor: p⃗=0A⃗\vec{p}=\vec{0A}​

Richtungsvektor: u⃗=v⃗\vec{u}=\vec{v}​


Beispiel

Gegeben: A(2∣3∣1)A\left(2|3|1\right)​ und  v⃗=(13−2)\ \vec{v}=\left(\begin{matrix}1\\3\\-2\\\end{matrix}\right)​

Geradengleichung:

g:   x⃗=p⃗+t⋅u⃗=(231)+t⋅(13−2) , t∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{u}=\left(\begin{matrix}2\\3\\1\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\3\\-2\\\end{matrix}\right)\ ,\ t\in\mathbb{R}​​