Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform
Geradengleichung
Darstellung einer Geraden mit Vektoren
g:x=p+t⋅u,t∈R
p
«Stützvektor»: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.
u
«Richtungsvektor»: Beliebiger Vektor parallel zur Geraden.
t
«Streckfaktor»: Verlängert oder verkürzt den Richtungsvektor beliebig.
Bedeutung
Mit Veränderung des Streckfaktorskann man jeden Punkt auf der Geraden beschreiben.
Hinweis: Im Gegensatz zu einer Geraden aus der Analysis kann man hier unendlich viele verschiedene Darstellungen für die gleiche Gerade haben.
Jeder Punkt auf der Geraden kann Stützvektorsein.
Jeder Vektor parallel zur Geraden kann Richtungsvektorsein.
Die Richtungsvektoren darf man somit mit einem beliebigen Faktor verlängern oder verkürzen. Meist versucht man möglichst kleine, ganzzahlige Einträge zu erhalten, indem man alle durch die gleiche Zahl teilt.
Geraden im 2-Dimensionalen
Darstellungsformen:
Parameterform
g:x=(pxpy)+t⋅(uxuy),s∈R
Koordinatenform
g:ax+by=cg:n(ab)⋅(xy)=c
n senkrecht zuu.
Geraden im 3-Dimensionalen
Darstellung der Geraden:
Parameterform
g:x=pxpypz+t⋅uxuyuz,s∈R
Geraden aufstellen
Anhand von zwei Punkten
Zwei beliebige Punkte A und B auf der Geraden sind gegeben.
VORGEHEN
1.
Verbindungsvektor von A und B berechnen.
AB=bx−axby−aybz−az
2.
Gerade aufstellen:
Stützvektor:p=0A oder 0B
Richtungsvektor:u=AB
Beispiel
Gegeben:A(2∣4∣1)und B(3∣2∣2)
Verbindungsvektor:
AB=3−22−42−1=1−21
Geradengleichung:
g:x=p+t⋅u=241+t⋅1−21,t∈R
Anhand von Richtungsvektor und Punkt
Oftmals wird dir ein Punkt A gegeben und ein Vektorwelche «parallel» zur Geraden ist.
VORGEHEN
Gerade direkt aufstellen:
Punkt als Stützvektor:p=0A
Richtungsvektor:u=v
Beispiel
Gegeben:A(2∣3∣1)und v=13−2
Geradengleichung:
g:x=p+t⋅u=231+t⋅13−2,t∈R
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Aus welchen Teilen besteht eine Geradengleichung in Parameterform?
Eine Geradengleichung in Parameterform stellt man mithilfe eines Stützvektors, eines Richtungsvektors und eines Streckfaktors auf.
Wie überprüfe ich, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Um dies zu überprüfen, setzt Du den Punkt in die Geradengleichung ein und überprüfst für jede Koordinate, ob sich derselbe Streckfaktor ergibt. Ist der Streckfaktor immer gleich, liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.
Welche Formen gibt es, um eine Geradengleichung darzustellen?
Eine Geradengleichung kann man immer mithilfe der Parameterform darstellen. Lediglich im Zweidimensionalen gibt es auch eine Koordinatenform der Geradengleichung.
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