Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Definition

Bei der Verteilung betrachtet man mithilfe einer Funktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable $$X$$​. Man untersucht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.

Beispiel

Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie oft tritt die Zahl 6 auf? Die Verteilung beschreibt die wahrscheinliche Häufigkeit der Zahl 6.

Zufallsvariable

Die Zufallsvariable gibt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments an.

Man stellt sie mit der Funktion $$X$$​ dar, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl $$X(\omega)$$​ zuordnet.

Hinweis: Für die Kennzeichnung von Zufallsvariablen werden meistens Grossbuchstaben verwendet, z. B. $$X$$, $$Y$$ und $$Z$$​.

Arten von Verteilungen

Diskrete und stetige Verteilungen

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Diskrete Verteilung

Die diskrete Verteilung basiert auf diskreten (zählbaren) Zufallsvariablen (Beispiel: Anzahl 4 beim Würfelwerfen).

Wahrscheinlichkeitsfunktion (W-Funktion)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable den Wert $$x$$​ annimmt.

$$f\left(x\right)=P(X=x)$$​​

Verteilungsfunktion (V-Funktion)

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $$x$$​ annimmt.

$$F\left(x\right)=P(X\le x)$$​​

Die Verteilungsfunktion setzt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeitsfunktionen zusammen.

Beispiel

Man würfelt einen fairen 6-seitigen Würfel viermal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens dreimal eine 4 hat?

$$X=Anzahl\ 4er$$​​

$$\underbrace{P\left(X\geq3\right)}_{V-Funktion}=\underbrace{P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)}_{W-Funktionen}={\left(\begin{matrix}4\\3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^1+{\left(\begin{matrix}4\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^0=0.0162=1.62$$​​

Stetige Verteilung

Die stetige Verteilung basiert auf stetigen Zufallsvariablen (Beispiel: Füllmenge einer Flasche).

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrösse. Die Wahrscheinlichkeit erhält man, indem man die Fläche unter der Dichtefunktion ausrechnet (mittels Integration).

Eigenschaften

Für eine Dichtefunktion $$\ f(x)$$​:

• Die Dichtefunktion ist nie kleiner als null, kann aber Werte grösser als eins haben.
• $$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$$​​
  

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion erhält man durch die Integration der Dichtefunktion bis zum Wert $$x$$​.

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ($$a$$ bis $$b$$​) von $$X$$​:

$$P(a<X\le b)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt$$​​

Typische Verteilungen und Wahrscheinlichkeitsfunktion

Diskrete Verteilungen

Die Zufallsexperimente zu den ersten drei Verteilungen sind Bernoulli-Experimente. 

• Man unterscheidet immer nur zwei mögliche Ereignisse (Kopf/Zahl oder 6/keine 6).
• Die Wahrscheinlichkeit verändert sich nicht zwischen den Durchgängen.

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Stetige Verteilung

Tipp: Für die Berechnung der Verteilungsfunktion benötigt man häufig den Taschenrechner.