Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Definition

Bei der Verteilung betrachtet man mithilfe einer Funktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable $X$ . Man untersucht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.

Beispiel

Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie oft tritt die Zahl 6 auf? Die Verteilung beschreibt die wahrscheinliche Häufigkeit der Zahl 6.

Zufallsvariable

Die Zufallsvariable gibt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments an.

Man stellt sie mit der Funktion $X$ dar, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl $X(\omega)$ zuordnet.

Hinweis: Für die Kennzeichnung von Zufallsvariablen werden meistens Grossbuchstaben verwendet, z. B. $X$ , $Y$ und $Z$ .

Arten von Verteilungen

Diskrete und stetige Verteilungen

DISKRET	Es gibt zählbar viele Ereignismöglichkeiten.
STETIG	Es gibt unendlich viele Ereignismöglichkeiten (Dezimalbereich).

Diskrete Verteilung

Die diskrete Verteilung basiert auf diskreten (zählbaren) Zufallsvariablen (Beispiel: Anzahl 4 beim Würfelwerfen).

Wahrscheinlichkeitsfunktion (W-Funktion)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable den Wert $x$ annimmt.

$f\left(x\right)=P(X=x)$

Verteilungsfunktion (V-Funktion)

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt.

$F\left(x\right)=P(X\le x)$

Die Verteilungsfunktion setzt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeitsfunktionen zusammen.

Beispiel

Man würfelt einen fairen 6-seitigen Würfel viermal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens dreimal eine 4 hat?

$X=Anzahl\ 4er$

$\underbrace{P\left(X\geq3\right)}_{V-Funktion}=\underbrace{P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)}_{W-Funktionen}={\left(\begin{matrix}4\\3\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^1+{\left(\begin{matrix}4\\4\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)}^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^0=0.0162=1.62%$

Stetige Verteilung

Die stetige Verteilung basiert auf stetigen Zufallsvariablen (Beispiel: Füllmenge einer Flasche).

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrösse. Die Wahrscheinlichkeit erhält man, indem man die Fläche unter der Dichtefunktion ausrechnet (mittels Integration).

Eigenschaften

Für eine Dichtefunktion $\ f(x)$ :

Die Dichtefunktion ist nie kleiner als null, kann aber Werte grösser als eins haben.
$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion erhält man durch die Integration der Dichtefunktion bis zum Wert $x$ .

$P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f\left(t\right)dt$

Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis $X$ kleiner oder gleich $x$ ist.

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ( $a$ bis $b$ ) von $X$ :

$P(a<X\le b)=\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt$

Typische Verteilungen und Wahrscheinlichkeitsfunktion

Diskrete Verteilungen

Verteilung	Beschreibung	Wahrscheinlichkeitsfunktion
Binomialverteilung	Wahrscheinlichkeit unter $n$ Versuchen, $k$ Treffer zu haben.	$P(X=k)=\left(\frac{n}{k}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Geometrische Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass die ersten $n$ Versuche keine Treffer sind.	$P(X=n)=(1-p)^{n-1} \cdot p$
Poisson-Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass etwas bei $n$ Wiederholungen in einem Zeitintervall genau $k$ -mal zutrifft.	$P(X=k)=\left(\frac{\mu}{k!}\right)\cdot e^{-\mu}$
Hypergeometrische Verteilung	Wahrscheinlichkeit, dass in

Die Zufallsexperimente zu den ersten drei Verteilungen sind Bernoulli-Experimente.

Man unterscheidet immer nur zwei mögliche Ereignisse (Kopf/Zahl oder 6/keine 6).
Die Wahrscheinlichkeit verändert sich nicht zwischen den Durchgängen.

Stetige Verteilung

Verteilung	Beschreibung	Dichtefunktion
NORMALVERTEILUNG	Symmetrische Verteilung	$f\left(x,\ \mu,\ \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
STANDARDNORMAL-VERTEILUNG	Sonderfall der Normalverteilung mit $\mu=0$ und $\sigma=1$	$f\left(x,\ 0,\ 1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$

Tipp: Für die Berechnung der Verteilungsfunktion benötigt man häufig den Taschenrechner.