Reihen – Einführung und Grenzwerte

Definitionen

Partialsumme

Als Partialsumme $$s_n$$​ bezeichnet man die Summe der Elemente der Folge $$a_n$$​ bis zum -ten Folgeglied.

$$\large s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n}_{Glieder\ der\ Folge\ a_n}$$​​

Reihe

Eine Reihe ist eine Folge aus Partialsummen $$s_1,\ s_2,s_3,\ldots$$​:

$$s_1=a_1\\s_2=a_1+a_2\\\ s_3=a_1+a_2+a_3\\\ldots$$​​

Arithmetische Reihe

Die arithmetische Reihe ist die Summe der Elemente einer arithmetischen Folge.

Geometrische Reihe

Grenzwerte

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Reihe annähert, wenn die Nummer $$n$$​ des Folgeglieds $$s_n$$​ gegen unendlich grosse Zahlen geht.

Hinweis 1: Oftmals werden nur die Grenzwerte von geometrischen Reihen untersucht.

Hinweis 2: Eine arithmetische Reihe divergiert.

Geometrischen Reihen

KONVERGENZ ODER DIVERGENz

Grenzwert bei ($$|q|<1$$​)

​$$g=\lim\limits_{n\to \infin} s_n=\sum_{k=1}^{\infin}a_1 \cdot q^{k-1}=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}$$​​

Tipp: Um den Grenzwert zu bestimmen benötigt man nur $$a_1$$ und $$q$$​. Man berechnet nur:

$$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$$​​

Beispiel

Grenzwert der Reihe $$s_n$$​ mit $$a_n=3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$$​

Werte auslesen: $$a_1=3$$​ und $$q=\frac{3}{4}$$​

Formel für den Grenzwert:

$$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}=3\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=\underline{12}$$​​

Der Grenzwert der Reihe ist 12.

Tipps für typische Aufgaben zu Grenzwerten

Oftmals muss man selbst eine geometrische Folge aufstellen. Folgendes Vorgehen kann helfen: