Reihen – Einführung und Grenzwerte

Definitionen

Partialsumme

Als Partialsumme $s_n$ bezeichnet man die Summe der Elemente der Folge $a_n$ bis zum -ten Folgeglied.

$\large s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\underbrace{a_1+a_2+\ \ldots\ +a_n}_{Glieder\ der\ Folge\ a_n}$

Reihe

Eine Reihe ist eine Folge aus Partialsummen $s_1,\ s_2,s_3,\ldots$ :

$s_1=a_1\\s_2=a_1+a_2\\\ s_3=a_1+a_2+a_3\\\ldots$

Arithmetische Reihe

Die arithmetische Reihe ist die Summe der Elemente einer arithmetischen Folge.

Folge

Rekursiv	$a_n=a_{n-1}+d$
Explizit	$a_n=a_1+d \cdot (n-1)$

d

ist konstant:

d=a_n-a_{n-1}

Reihe

s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \, a_k =\frac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}

Geometrische Reihe

Folge

Rekursiv	$a_n=a_{n-1}\cdot q$
Explizit	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

q

ist konstant:

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}

Reihe

s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \, a_1\cdot q^{k-1} =a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Grenzwerte

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Reihe annähert, wenn die Nummer $n$ des Folgeglieds $s_n$ gegen unendlich grosse Zahlen geht.

Hinweis 1: Oftmals werden nur die Grenzwerte von geometrischen Reihen untersucht.

Hinweis 2: Eine arithmetische Reihe divergiert.

Geometrischen Reihen

KONVERGENZ ODER DIVERGENz

$\|q\|<1$	Konvergenz	Für $\|q\|$ kleiner als 1 konvergiert die Reihe.
$\|q\|\geq1$	Divergenz	Für $\|q\|$ grösser als 1 divergiert die Reihe.

Grenzwert bei ( $|q|<1$ )

$g=\lim\limits_{n\to \infin} s_n=\sum_{k=1}^{\infin}a_1 \cdot q^{k-1}=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}$

Tipp: Um den Grenzwert zu bestimmen benötigt man nur $a_1$ und $q$ . Man berechnet nur:

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}$ 

Beispiel

Grenzwert der Reihe $s_n$ mit $a_n=3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

Werte auslesen: $a_1=3$ und $q=\frac{3}{4}$

Formel für den Grenzwert:

$g=a_1\cdot\frac{1}{1-q}=3\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=\underline{12}$

Der Grenzwert der Reihe ist 12.

Tipps für typische Aufgaben zu Grenzwerten

Oftmals muss man selbst eine geometrische Folge aufstellen. Folgendes Vorgehen kann helfen:

1.

Bestimme die ersten drei Glieder der Folge:

a_1, a_2

und

a_3

.

Oftmals sind die Werte der Glieder Teil von geometrischen Formen.

Folgende Formeln werden häufig gefragt:

Bei Dreiecken:	Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 =c^2$ Flächeninhalt: $A= \frac{a \cdot h_a}{2}$
Bei Kreisen:	Kreisumfang: $U=2\pi r$ Kreisfläche: $A=\pi r^2$

2.

Bestimme anhand von

a_1, a_2

und

a_3

den Wert von

q

:

q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{a_3}{a_2}

Hinweis: Man prüft

\frac{a_3}{a_2}

um zu versichern, dass

q

immer gleich ist.

3.

Verwende die Formel für den Grenzwert:

g=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}