Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln
Bernoulli-Experiment
Definition
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg (xi=1) oder Misserfolg (xi=0). Die Wahrscheinlichkeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.
xi
|
P(X=xi)
|
0
|
p
|
1
|
1−p
|
Bernoulli-Kette
Definition
Eine Bernoulli-Kette der Länge n erhält man durch die n-fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich gross. Mit Bernoulli-Ketten lassen sich zum Beispiel die Anzahl Erfolge k in n Versuchen untersuchen und man kann berechnen, wie wahrscheinlich das Erreichen einer gewissen Anzahl von Erfolgen ist.
Beispiele
Eine Münze wird 5 Mal geworfen. | Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt nach jedem Wurf und die Wahrscheinlichkeit gleichbleibt. (p=1−p=0,5) Hier könnte man das Auftreten des Ereignisses „Kopf“ als Erfolg definieren. |
Man zieht aus einer Urne fünf Mal entweder eine rote oder blaue Kugel ohne Zurücklegen. | Hier ist es keine Bernoulli-Kette, da sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeit ändert. |
Beispiel:
Angenommen, beim Werfen eines Basketballs auf einen Korb hat man eine 25%-Trefferchance. Wenn man drei Mal auf den Korb wirft, wie viele Möglichkeiten für keinen, einen, zwei oder drei Treffer gibt es? Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten? (1 bezeichnet Treffer, 0 bezeichnet nicht getroffen.)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wenn die Zufallsgrösse X die Anzahl der Treffer beschreibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments k Mal ein Erfolg eintritt, die folgende Formel:
P(X=k)=(kn)⋅pk⋅(1−p)n−k
|
n
| Anzahl Durchführungen |
k
| Anzahl Erfolge |
p
| Wahrscheinlichkeit für Erfolg in einem Bernoulli-Experiment |
Anmerkung: Die Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.
Hinweis: (kn) ist der Binomialkoeffizient. Dieser gibt die Anzahl Möglichkeiten an, aus n Elementen k Elemente auszuwählen. Man kann den Binomialkoeffizienten folgendermassen berechnen:
(kn)=k!⋅(n−k)!n!
Beispiel:
Eine gezinkte Münze zeigt zu 20 % Zahl an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen 5 Mal Zahl zu werfen?
P(X=5)=(510)⋅0,25⋅(1−0,2)(10−5)=0,026
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heisst Binomialverteilung. Dann sagt man, X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf für die Fälle, dass X=0,X=1,... bis hin zu X=x:
FX(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=x