Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln

Bernoulli-Experiment

Definition

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg $(x_i=1)$ oder Misserfolg $(x_i=0)$ . Die Wahrscheinlichkeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.

$x_i$

$P(X=x_i)$

$0$

$p$

$1$

$1-p$

Bernoulli-Kette

Definition

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ erhält man durch die $n$ -fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich gross. Mit Bernoulli-Ketten lassen sich zum Beispiel die Anzahl Erfolge $k$ in $n$ Versuchen untersuchen und man kann berechnen, wie wahrscheinlich das Erreichen einer gewissen Anzahl von Erfolgen ist.

Beispiele

Eine Münze wird $5$ Mal geworfen.	Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt nach jedem Wurf und die Wahrscheinlichkeit gleichbleibt. $(p=1 -p=0,5)$ Hier könnte man das Auftreten des Ereignisses „Kopf“ als Erfolg definieren.
Man zieht aus einer Urne fünf Mal entweder eine rote oder blaue Kugel ohne Zurücklegen.	Hier ist es keine Bernoulli-Kette, da sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeit ändert.

Beispiel:

Angenommen, beim Werfen eines Basketballs auf einen Korb hat man eine $25\%$ -Trefferchance. Wenn man drei Mal auf den Korb wirft, wie viele Möglichkeiten für keinen, einen, zwei oder drei Treffer gibt es? Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten? (1 bezeichnet Treffer, 0 bezeichnet nicht getroffen.)

Mathematik; Verteilungen; 3. Gymi; Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wenn die Zufallsgrösse $X$ die Anzahl der Treffer beschreibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $n$ Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments $k$ Mal ein Erfolg eintritt, die folgende Formel:

$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

$n$

Anzahl Durchführungen

$k$

Anzahl Erfolge

$p$

Wahrscheinlichkeit für Erfolg in einem Bernoulli-Experiment

Anmerkung: Die Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.

Hinweis: $\binom{n}{k}$ ist der Binomialkoeffizient. Dieser gibt die Anzahl Möglichkeiten an, aus $n$  Elementen $k$ Elemente auszuwählen. Man kann den Binomialkoeffizienten folgendermassen berechnen:

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Beispiel:

Eine gezinkte Münze zeigt zu 20 % Zahl an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei $10$ Würfen $5$ Mal Zahl zu werfen?

$P(X=5)=\binom{10}{5}\cdot 0,2^5 \cdot (1-0,2)^{(10-5)}=\underline{0,026}$

Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ heisst Binomialverteilung. Dann sagt man, $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ . Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf für die Fälle, dass $X=0, X=1, ...$ bis hin zu $X=x$ :

$F_X (x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1) +_…+P(X=x$