Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg oder Misserfolg . Die Wahrscheinlichkeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.
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Eine Bernoulli-Kette der Länge erhält man durch die -fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich gross. Mit Bernoulli-Ketten lassen sich zum Beispiel die Anzahl Erfolge in Versuchen untersuchen und man kann berechnen, wie wahrscheinlich das Erreichen einer gewissen Anzahl von Erfolgen ist.
| Eine Münze wird Mal geworfen. | Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt nach jedem Wurf und die Wahrscheinlichkeit gleichbleibt. Hier könnte man das Auftreten des Ereignisses „Kopf“ als Erfolg definieren. |
| Man zieht aus einer Urne fünf Mal entweder eine rote oder blaue Kugel ohne Zurücklegen. | Hier ist es keine Bernoulli-Kette, da sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeit ändert. |
Angenommen, beim Werfen eines Basketballs auf einen Korb hat man eine -Trefferchance. Wenn man drei Mal auf den Korb wirft, wie viele Möglichkeiten für keinen, einen, zwei oder drei Treffer gibt es? Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten? (1 bezeichnet Treffer, 0 bezeichnet nicht getroffen.)
Wenn die Zufallsgrösse die Anzahl der Treffer beschreibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments Mal ein Erfolg eintritt, die folgende Formel:
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| Anzahl Durchführungen |
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| Anzahl Erfolge | |
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| Wahrscheinlichkeit für Erfolg in einem Bernoulli-Experiment |
Anmerkung: Die Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.
Hinweis: ist der Binomialkoeffizient. Dieser gibt die Anzahl Möglichkeiten an, aus Elementen Elemente auszuwählen. Man kann den Binomialkoeffizienten folgendermassen berechnen:
Eine gezinkte Münze zeigt zu 20 % Zahl an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei Würfen Mal Zahl zu werfen?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von heisst Binomialverteilung. Dann sagt man, ist binomialverteilt mit den Parametern und . Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf für die Fälle, dass bis hin zu :
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlihckeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.
Die Bernoulli-Kette ist die mehrfache Durchführung eines Bernoulli-Experiments. Die Wahrscheinlichkeit ist bei jeder Durchführung gleich gross. Wird dasselbe Bernoulli-Experiment n-mal durchgeführt, so nennt man dies eine Bernoulli-Kette der Länge n.
Beta
