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Lehrperson: Georg
Lehrperson: Georg

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Zusammenfassung

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Grundoperationen 

Addition

​a→+b→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}a+b​​


Grafisch setzt man das Ende des einen Vektors an den Anfang des anderen Vektors.


Allgemein

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

​

​Zwischen Punkten

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

​a→+b→=PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}a+b=PQ​+QR​=PR​​


Subtraktion

​a→−b→=a→+(−b→)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{-b}) a−b=a+(−b​)​​


Man addiert den Gegenvektor von b→\overrightarrow{b}b​.

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln


Vervielfachen

Multiplikation mit einer Zahl (Vektorvielfachen):

​r⋅a→r\cdot \overrightarrow{a}r⋅a​​


Der Vektor a→\overrightarrow{a}a​ wird um das ∣r∣|r|∣r∣​-fache verlängert oder gekürzt. 

Der Parameter r eine reelle Zahl. 


Richtung: 

  • Ist rrr​ positiv ändert sich die Richtung von a→\overrightarrow{a}a​ nicht 
  • Ist rrr​ negativ wird die Richtung von a→\overrightarrow{a}a​ umgedreht 

Länge: 

  • Ist ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1​: wird a→\overrightarrow{a}a​ gekürzt 
  • Ist ∣r∣>1|r|>1∣r∣>1​: wird a→\overrightarrow{a}a​ verlängert 
  • Ist ∣r∣=1|r|=1∣r∣=1​: ändert sich die Länge von a→\overrightarrow{a}a​ nicht


Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln


Rechengesetze

​Kommutativgesetz der Addition

​a→+b→=b→+a→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}a+b=b+a​​

Reihenfolge der Vektoren ist unwichtig.

​Assoziativgesetz der Addition

​(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})(a+b)+c=a+(b+c)​​

​Reihenfolge der Addition ist unwichtig.

​Neutralelement der Addition

​a→+o→=a→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{o}=\overrightarrow{a}a+o=a​​

​Nullvektor addieren ändert nichts.

​Inverses Element der Addition

​a→+(−a)→=o→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\left(-a\right)}=\overrightarrow{o}a+(−a)​=o​​

​Vektor und Gegenvektor addiert ergeben den Nullvektor.

​Assoziativgesetz des Vektorvielfachen

​(rs)a→=r(sa→)(rs)\overrightarrow{a}=r(s\overrightarrow{a})(rs)a=r(sa)​​

​Vorfaktoren darf man zusammennehmen.

​Distributivgesetz

​r(a→+b→)=ra→+rb→(r+s)a→=ra→+sa→\begin{aligned}r (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &=r\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b} \\(r+s)\overrightarrow{a} &=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{a}\end{aligned}r(a+b)(r+s)a​=ra+rb=ra+sa​​​

​Klammern darf man entsprechend auflösen.

​Betrag

​∣ra→∣=∣r∣∣a→∣\left|r\overrightarrow{a}\right|=\left|r\right|\left|\overrightarrow{a}\right|​ra​=∣r∣​a​​​

​Einen Betrag darf man trennen.

Gleichheitsgesetz

​Gilt: a→=b→\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}a=b​ dann gilt auch:

​a→+c→=b→+c→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}a+c=b+c​​

oder

​ra→=rb→ (r≠0)r\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{b}\ \left(r\neq0\right)ra=rb (r=0)​​

​Sind Vektoren identisch, dann sind auch die Rechnungen mit diesen gleich.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie addiert man Vektoren?

Grafisch setzt man das Ende einen Vektors an den Anfang des anderen Vektors.

Wie subtrahiert man Vektoren?

Man addiert den Gegenvektor des Subtrahenden.

Wie multipliziert man mit Vektoren?

Multiplikation mit einer Zahl (Vektorenvielfachen). Der Vektor wird um da |r|-Fache verlängert oder gekürzt. Der Paramter r ist eine reelle Zahl.

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