Determinante von Matrizen berechnen

Definition

Jeder quadratischen Matrix kann eine Determinante zugeordnet werden. Die Determinante ist eine Zahl, die aus allen Einträgen der Matrix berechnet wird.

Schreibweisen für die Determinanten sind $$det(A)\$$​ oder $$\left|A\right|$$​.

Formeln

Je nach Dimension einer Matrix wird zur Berechnung der Determinante eine andere Formel verwendet:

Tipp: Berechnung bei 3x3 Matrizen:

Erweitere die Matrix mit den ersten zwei Spalten. 

Multipliziere entlang der markierten Diagonale und verrechne die Produkte wie dargestellt:

Beispiel 1: 2x2

Berispiel 2: 3x3

Eigenschaften

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Anwendungen

Flächenberechnung im $$\mathbb{R}^2$$​

Zwei Vektoren, die nicht parallel sind, spannen ein Parallelenviereck (Parallelogramm) auf.

Fügt man die Vektorenals Matrix zusammen und bildet von dieser die Determinante, so erhält man den Flächeninhalt des Parallelenvierecks.

Beispiel: 

Volumenberechnung im $$\mathbb{R}^3$$​

Drei Vektoren $$(\vec{a,\ \ } \vec{b\ } \ und\ \vec{c})$$​ im dreidimensionalen Raum, die nicht parallel sind, spannen ein Spat auf.

Fügt man die Vektorenals Matrix zusammen und bildet von dieser die Determinante, so erhält man das Volumen des Spats.

Beispiel:

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Mithilfe der Determinante kann man prüfen, ob zwei Vektoren im $$\mathbb{R}^2$$​ oder drei Vektoren im $$\mathbb{R}^3$$​ linear abhängig sind.

VORGEHEN

Beispiel: 

Lineare Gleichungssysteme

Mithilfe der Determinante kann man prüfen, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist.

VORGEHEN

Beispiel:

Inverse Matrix

Eine inverse Matrix $$A^{-1}$$​ von $$A$$​ existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist.