PARALLEL

Gerade liegt parallel zur Ebene

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
• Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene

GERADE ALS TEIL DER EBENE

Gerade ist Teil der Ebene

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
• Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene

EIN SCHNITTPUNKT

Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S

• Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen nicht senkrecht zueinander
• Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt

1.

Gleichungssystem erstellen, indem man Geraden- und Ebenengleichung komponentenweise gleichsetzt.

Gegeben:

$$E:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+r\cdot\vec{w},\\r,s,t\in\mathbb{R}$$​​

2.

Gleichungssystem lösen: Streckfaktoren r, s und t berechnen.

3.

Streckfaktoren in Geraden oder Ebenengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

1.

Gerade in die Ebenengleichung einsetzen:

• $$x$$​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  
• $$y$$​-Zeile der Gerade in der Ebene einsetzen.
  
• $$z$$​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.

Streckfaktor berechnen.

Gegeben:

$$E:\ \ \ ax+by+cz=d\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}$$​​

2.

Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen und den Schnittpunkt berechnen.

Gerade und Ebene:

$$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}\\E:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d$$​​

​$$sin\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$$​​

​$$\alpha=\sin^{-1}{\left(\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}\right)}$$​​

1.

Bilde eine Gerade h durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor ist $$\vec{n_E}$$​

Stützpunkt Q

$$h:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}$$​​

Gegeben: 

Ebene: $$E:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d$$​

Gerade: $$g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}$$​

Q ist der Stützpunkt von g: $$\vec{q}=\vec{0Q}$$​

2.

Streckfaktor $$t$$​ des Schnittpunkts zwischen E und h berechnen.

3.

Erhaltenen Streckfaktor verdoppeln und in die Gerade h einsetzen:

$$\vec{0Q'}=\vec{0Q}+2\cdot t_T\cdot\vec{n_E}$$​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

4.

Schnittpunkt S zwischen g und E berechnen.

5.

Gerade durch die Punkte Q’ und S berechnen.

Dies ist die gespiegelte Gerade g’.

Skizze:

Skizze mit allen Hilfselementen: