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Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

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Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

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Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

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Erklärvideo

Lehrperson: Severina
Lehrperson: Severina

Erklärvideo 1

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Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lage Gerade zur Ebene

Die drei Fälle

PARALLEL

Gerade liegt parallel zur Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

GERADE ALS TEIL DER EBENE

Gerade ist Teil der Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

EIN SCHNITTPUNKT

Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen nicht senkrecht zueinander
  • Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

​


Schnittpunkt Gerade-Ebene bestimmen

Variante 1: Ebene in Parameterform

VORGEHEN

1.

Gleichungssystem erstellen, indem man Geraden- und Ebenengleichung komponentenweise gleichsetzt.

Gegeben:

E:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗,g:   x⃗=q⃗+r⋅w⃗,r,s,t∈RE:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+r\cdot\vec{w},\\r,s,t\in\mathbb{R}E:   x=q​+s⋅u+t⋅v,g:   x=q​+r⋅w,r,s,t∈R​​


Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

2.

Gleichungssystem lösen: Streckfaktoren r, s und t berechnen.

3.

Streckfaktoren in Geraden oder Ebenengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

​

Variante 2: Ebene in Koordinatenform

Die oftmals leichtere Variante.


VORGEHEN

1.

Gerade in die Ebenengleichung einsetzen:

  • xxx​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  • yyy​-Zeile der Gerade in der Ebene einsetzen.
  • zzz​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.

Streckfaktor berechnen.

Gegeben:

E:   ax+by+cz=dg:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗,    s∈RE:\ \ \ ax+by+cz=d\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}E:   ax+by+cz=dg:   x=q​+s⋅u,    s∈R​​


Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade


2.

Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen und den Schnittpunkt berechnen.



Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Berechnung

Gerade und Ebene:

g:   x⃗=p⃗+s⋅u⃗E:   n⃗⋅x⃗=dg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}\\E:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=dg:   x=p​+s⋅uE:   n⋅x=d​​


​sin(α)=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣sin\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}sin(α)=∣u∣⋅∣n∣∣u⋅n∣​​​


​α=sin⁡−1(∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣)\alpha=\sin^{-1}{\left(\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}\right)}α=sin−1(∣u∣⋅∣n∣∣u⋅n∣​)​​


Reflektion Gerade an einer Ebene

Eine Gerade g soll an einer Ebene E gespiegelt werden. Die entstehende Gerade g’ nennen wir hier die «gespiegelte Gerade».


Mit Hilfe einer Hilfsgeraden

VORGEHEN

1.

Bilde eine Gerade h durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor ist nE⃗\vec{n_E}nE​​​

Stützpunkt Q

h:   x⃗=0Q⃗+t⋅nE⃗,    t∈Rh:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}h:   x=0Q​+t⋅nE​​,    t∈R​​

Gegeben: 

Ebene: E:   n⃗⋅x⃗=dE:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=dE:   n⋅x=d​

Gerade: g:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗,    s∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}g:   x=q​+s⋅u,    s∈R​

Q ist der Stützpunkt von g: q⃗=0Q⃗\vec{q}=\vec{0Q}q​=0Q​​

2.

Streckfaktor ttt​ des Schnittpunkts zwischen E und h berechnen.

3.

Erhaltenen Streckfaktor verdoppeln und in die Gerade h einsetzen:

0Q′⃗=0Q⃗+2⋅tT⋅nE⃗\vec{0Q'}=\vec{0Q}+2\cdot t_T\cdot\vec{n_E}0Q′​=0Q​+2⋅tT​⋅nE​​​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

4.

Schnittpunkt S zwischen g und E berechnen.

5.

Gerade durch die Punkte Q’ und S berechnen.

Dies ist die gespiegelte Gerade g’.


Skizze:

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Skizze mit allen Hilfselementen:

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade




Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

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Dauer:
Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 1

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Teil 2

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 3

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Abkürzung

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Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Teil 4

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist eine Gerade parallel zur Ebene?

Eine Gerade liegt parallel zur Ebne, wenn der Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor senkrecht zueinander stehen. Der Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene.

Wann ist eine Gerade Teil der Ebene?

Eine Gerade ist ein Teil der Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade und Normalvektor senkrecht zueinander stehen. Der Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene.

Wann ist eine Gerade ein Schnittpunkt der Ebene?

Eine Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S, wenn des Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor nicht senkrecht zueinander stehen. Die Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt.

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