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Kapitelübersicht

Mathematik

Analysis

Differentialrechnung

Kurvendiskussion

Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Gerade

Ebene

Kreise und Kugeln

Stochastik

Kombinatorik

Wahrscheinlichkeit

Statistik

Verteilungen

Folgen und Reihen

Folgen

Reihen

Matrizen

Grundlagen

Mathematik

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Mathe_Matura_02VG_03_Ebenen_06_Ebene-Gerade 0
Mathe_Matura_02VG_03_Ebenen_06_Ebene-Gerade 1
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Zusammenfassung

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Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lage Gerade zur Ebene

Die drei Fälle

PARALLEL

Gerade liegt parallel zur Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist nicht Teil der Ebene
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

GERADE ALS TEIL DER EBENE

Gerade ist Teil der Ebene

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen senkrecht
  • Stützpunkt der Gerade ist Teil der Ebene
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

EIN SCHNITTPUNKT

Gerade und Ebene schneiden sich im Schnittpunkt S

  • Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor stehen nicht senkrecht zueinander
  • Gerade und Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

​


Schnittpunkt Gerade-Ebene bestimmen

Variante 1: Ebene in Parameterform

VORGEHEN

1.

Gleichungssystem erstellen, indem man Geraden- und Ebenengleichung komponentenweise gleichsetzt.

Gegeben:

E:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗,g:   x⃗=q⃗+r⋅w⃗,r,s,t∈RE:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v},\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+r\cdot\vec{w},\\r,s,t\in\mathbb{R}​​


Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

2.

Gleichungssystem lösen: Streckfaktoren r, s und t berechnen.

3.

Streckfaktoren in Geraden oder Ebenengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

​

Variante 2: Ebene in Koordinatenform

Die oftmals leichtere Variante.


VORGEHEN

1.

Gerade in die Ebenengleichung einsetzen:

  • xx​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.
  • yy​-Zeile der Gerade in der Ebene einsetzen.
  • zz​-Zeile der Gerade in  der Ebene einsetzen.

Streckfaktor berechnen.

Gegeben:

E:   ax+by+cz=dg:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗,    s∈RE:\ \ \ ax+by+cz=d\\g:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}​​


Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade


2.

Streckfaktor in Geradengleichung einsetzen und den Schnittpunkt berechnen.



Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Berechnung

Gerade und Ebene:

g:   x⃗=p⃗+s⋅u⃗E:   n⃗⋅x⃗=dg:\ \ \ \vec{x}=\vec{p}+s\cdot\vec{u}\\E:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d​​


​sin(α)=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣sin\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}​​


​α=sin⁡−1(∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣)\alpha=\sin^{-1}{\left(\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}\right)}​​


Reflektion Gerade an einer Ebene

Eine Gerade g soll an einer Ebene E gespiegelt werden. Die entstehende Gerade g’ nennen wir hier die «gespiegelte Gerade».


Mit Hilfe einer Hilfsgeraden

VORGEHEN

1.

Bilde eine Gerade h durch Q senkrecht zu E:

Richtungsvektor ist nE⃗\vec{n_E}​

Stützpunkt Q

h:   x⃗=0Q⃗+t⋅nE⃗,    t∈Rh:\ \ \ \vec{x}=\vec{0Q}+t\cdot\vec{n_E},\ \ \ \ t\in\mathbb{R}​​

Gegeben: 

Ebene: E:   n⃗⋅x⃗=dE:\ \ \ \vec{n}\cdot\vec{x}=d​

Gerade: g:   x⃗=q⃗+s⋅u⃗,    s∈Rg:\ \ \ \vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{u},\ \ \ \ s\in\mathbb{R}​

Q ist der Stützpunkt von g: q⃗=0Q⃗\vec{q}=\vec{0Q}​

2.

Streckfaktor tt​ des Schnittpunkts zwischen E und h berechnen.

3.

Erhaltenen Streckfaktor verdoppeln und in die Gerade h einsetzen:

0Q′⃗=0Q⃗+2⋅tT⋅nE⃗\vec{0Q'}=\vec{0Q}+2\cdot t_T\cdot\vec{n_E}​​

Somit den Reflektionspunkt Q’ berechnen.

4.

Schnittpunkt S zwischen g und E berechnen.

5.

Gerade durch die Punkte Q’ und S berechnen.

Dies ist die gespiegelte Gerade g’.


Skizze:

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Skizze mit allen Hilfselementen:

Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade