Lagebeziehungen zwischen Ebenen
Lage von Ebenen
Gegenseitige Lage von zwei Ebenen
IDENTISCH | Ebenen liegen aufeinander: - Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
- Stützpunkte liegen in beiden Ebenen.
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PARALLEL | Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht. - Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
- Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen.
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SCHNITTGERADE | Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s. - Normalenvektoren sind nicht parallel.
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Winkel zwischen zwei Ebenen
ZWEI EBENEN | Ebenen: E: nE⋅x=dEF: nF⋅x=dF
| cos(α)=∣nE∣⋅∣nF∣∣nE⋅nF∣
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Gegenseitige Lage von drei Ebenen
IDENTISCH | Ebenen liegen aufeinander: - Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
- Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
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PARALLEL | Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht. - Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
- Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
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EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N) | Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s. - Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
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EIN SCHNITTPUNKT | Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S. - Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
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Lage von zwei Ebenen bestimmen
Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.
Vorgehen
1. | Normalenvektoren auf Kollinearität vergleichen. nE=s⋅nF
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Falls kollinear: Ebenen identisch oder parallel: |
2a. | Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein. Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch. Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch. |
Falls nicht kollinear: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden |
2b. | Schnittgerade s bestimmen: - Richtungsvektor: u=nE×nF
- Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden
Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in der nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P. |
Beispiel
Gegeben sind: E: 2x−y+z=1 und F: x+y−2z=−1
Normalenvektoren:
nE=2−11 und nF=11−2
Kollinearität prüfen:
2−11=s⋅11−2 nicht kollinear
Schnittgerade bilden:
Richtungsvektor:
u=2−11×11−2=153
Stützpunkt (durchprobieren):
Wähle x=0:
In die Ebenengleichung einsetzen:
E: −y+z=1F: y−2z=−1
Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: y=−1,z=0
A(0∣−1∣0)
Schnittgerade:
x=0−10+t⋅153, t∈R