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Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

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Differentialrechnung

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen
Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln
Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion
Ableitung trigonometrische Funktion
Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel
Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs
Grenzwerte und Asymptoten bestimmen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen
Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen
Lokale und globale Extrempunkte bestimmen
Wendepunkte bestimmen und unterscheiden
Monotonie: Definition und Vorgehen
Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion
Kurvenscharen und Ortskurve
Verschiedene Extremalwertprobleme lösen
Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung
Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral
Stammfunktion bilden und Integrationsregeln
Partielle Integration: Anwendung & Formel
Substitution bei verschachtelten Funktionen
Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse
Rotationsvolumen: Definition und Formel
Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten
Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor
Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln
Koordinatensystem in 2D und 3D
Komponentendarstellung in 2D und 3D
Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D
Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln
Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform
Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen
Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung
Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften
Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte
Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion
Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade
Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Kreise und Kugeln

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln
Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen
Kugel und Ebene: Lagebeziehungen und Aufgaben
Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln
Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln
Fakultät: Definition und Formel
Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung
Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung
Variationsformeln ohne und mit Wiederholung
Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung
Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination
Verschachtelte Kombinatorik-Probleme
Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften
Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen
​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
Zufallsexperiment

Statistik

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln
Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte
Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Folgen und Reihen

Arten und Darstellungen von Folgen
Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert
Reihen: Einführung und Grenzwerte

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen
Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen
Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln
Determinante von Matrizen berechnen
Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften
Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen
Brüche

Erklärvideo

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Lage von Ebenen

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

SCHNITTGERADE

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren sind nicht parallel.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

​

Winkel zwischen zwei Ebenen

ZWEI EBENEN

Ebenen:

​E:   nE⃗⋅x⃗=dEF:   nF⃗⋅x⃗=dFE:\ \ \ \vec{n_E}\cdot\vec{x}=d_E\\F:\ \ \ \vec{n_F}\cdot\vec{x}=d_FE:   nE​​⋅x=dE​F:   nF​​⋅x=dF​​​

​cos(α)=∣nE⃗⋅nF⃗∣∣nE⃗∣⋅∣nF⃗∣cos\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}cos(α)=∣nE​​∣⋅∣nF​​∣∣nE​​⋅nF​​∣​​​

​

Gegenseitige Lage von drei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N)

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EIN SCHNITTPUNKT

Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S.

  • Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

​


Lage von zwei Ebenen bestimmen

Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.


Vorgehen

1.

Normalenvektoren auf Kollinearität vergleichen.

nE⃗=s⋅nF⃗\vec{n_E}=s\cdot\vec{n_F}nE​​=s⋅nF​​​​

Falls kollinear: Ebenen identisch oder parallel:

2a.

Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein.

Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch. 

Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch.

Falls nicht kollinear: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden

2b.

Schnittgerade s bestimmen:

  • Richtungsvektor: u⃗=nE⃗×nF⃗\vec{u}=\vec{n_E}\times\vec{n_F}u=nE​​×nF​​​
  • Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden

Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in der  nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P.


Beispiel

Gegeben sind: E:   2x−y+z=1E:\ \ \ 2x-y+z=1 E:   2x−y+z=1​  und  F:   x+y−2z=−1 F:\ \ \ x+y-2z=-1F:   x+y−2z=−1​


Normalenvektoren:

nE⃗=(2−11)\vec{n_E}=\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)nE​​=​2−11​​​ und nF⃗=(11−2)\vec{n_F}=\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)nF​​=​11−2​​​​


Kollinearität prüfen:

(2−11)≠s⋅(11−2)\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)\neq s\cdot\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)​2−11​​=s⋅​11−2​​​  nicht kollinear


Schnittgerade bilden:

Richtungsvektor:

u⃗=(2−11)×(11−2)=(153)\vec{u}=\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\\3\\\end{matrix}\right)u=​2−11​​×​11−2​​=​153​​​​


Stützpunkt (durchprobieren):

Wähle x=0x=0x=0​:

In die Ebenengleichung einsetzen:

E:   −y+z=1F:   y−2z=−1E:\ \ \ -y+z=1\\F:\ \ \ y-2z=-1E:   −y+z=1F:   y−2z=−1​​


Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: y=−1,z=0y=-1, z=0y=−1,z=0​ 


A(0∣−1∣0)A(0|-1|0)A(0∣−1∣0)​​


Schnittgerade:

x⃗=(0−10)+t⋅(153),   t∈R\vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\-1\\0\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\5\\3\\\end{matrix}\right),\ \ \ t\in\mathbb{R}x=​0−10​​+t⋅​153​​,   t∈R​​



Mehr dazu

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Dauer:
Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Teil 1

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 2

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Teil 3

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 4

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

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Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Teil 5

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann sind zwei Ebenen identisch?

Ebenen liegen aufeinader. Die Normalenvektoren sind parallel (kollinear). Stützpunkte liegen in beiden Ebenen.

Wann sind Ebenen parallel?

Ebenen sind parallel, aber schneiden sich nicht. Die Normalenvektoren sind parallel (kollinear). Die Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen.

Wie schneiden sich Ebenen?

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade "s". Normalenbektoren sind nicht parallel.

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