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Lagebeziehungen zwischen Ebenen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Lage von Ebenen

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel. Sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht in beiden Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

SCHNITTGERADE

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren sind nicht parallel.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen


Winkel zwischen zwei Ebenen

ZWEI EBENEN

Ebenen:

E:   nEx=dEF:   nFx=dFE:\ \ \ \vec{n_E}\cdot\vec{x}=d_E\\F:\ \ \ \vec{n_F}\cdot\vec{x}=d_F​​


cos(α)=nEnFnEnFcos\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{n_E}\cdot\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}​​


Gegenseitige Lage von drei Ebenen

IDENTISCH

Ebenen liegen aufeinander:

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen auf allen Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

PARALLEL

Ebenen sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Normalenvektoren sind parallel (paarweise kollinear).
  • Stützpunkte liegen nicht auf mehreren Ebenen.
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EINE ODER MEHRERE SCHNITTGERADE(N)

Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden s.

  • Normalenvektoren liegen in einer Ebene (komplanar).
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen

EIN SCHNITTPUNKT

Ebenen schneiden sich in einem Schnittpunkt S.

  • Normalenvektoren liegen nicht in einer Ebene (gemeinsam nicht kollinear).
Mathematik; Ebene; 3. Gymi; Lagebeziehungen zwischen Ebenen



Lage von zwei Ebenen bestimmen

Es ist am einfachsten, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Falls dies nicht der Fall ist, soll man beide entsprechend umwandeln.


Vorgehen

1.

Normalenvektoren auf Kollinearität vergleichen.

nE=snF\vec{n_E}=s\cdot\vec{n_F}​​

Falls kollinear: Ebenen identisch oder parallel:

2a.

Setze einen Aufrisspunkt der einen Ebene in die Ebenengleichung der anderen Ebene ein.

Ist die Gleichung erfüllt, so sind die Ebenen parallel und identisch. 

Ist die Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ebenen nur parallel und nicht identisch.

Falls nicht kollinear: Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden

2b.

Schnittgerade s bestimmen:

  • Richtungsvektor: u=nE×nF\vec{u}=\vec{n_E}\times\vec{n_F}
  • Stützpunkt P: Ein Punkt, welcher auf E und F liegt: Durch systematisches probieren herausfinden

Tipp: Setze eine Koordinate von P gleich null in der  nicht null ist. Identifiziere nun die anderen beiden Koordinaten von P.


Beispiel

Gegeben sind: E:   2xy+z=1E:\ \ \ 2x-y+z=1   und  F:   x+y2z=1 F:\ \ \ x+y-2z=-1


Normalenvektoren:

nE=(211)\vec{n_E}=\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)​ und nF=(112)\vec{n_F}=\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)​​


Kollinearität prüfen:

(211)s(112)\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)\neq s\cdot\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)​  nicht kollinear


Schnittgerade bilden:

Richtungsvektor:

u=(211)×(112)=(153)\vec{u}=\left(\begin{matrix}2\\-1\\1\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}1\\1\\-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\\3\\\end{matrix}\right)​​


Stützpunkt (durchprobieren):

Wähle x=0x=0:

In die Ebenengleichung einsetzen:

E:   y+z=1F:   y2z=1E:\ \ \ -y+z=1\\F:\ \ \ y-2z=-1​​


Mögliche Koordinaten welche beide Gleichungen erfüllen: y=1,z=0y=-1, z=0 


A(010)A(0|-1|0)​​


Schnittgerade:

x=(010)+t(153),   tR\vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\-1\\0\\\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\5\\3\\\end{matrix}\right),\ \ \ t\in\mathbb{R}​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann sind zwei Ebenen identisch?

Wann sind Ebenen parallel?

Wie schneiden sich Ebenen?

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