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Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung

Definition 

Eine Tangente t berührt eine Funktion in einem Punkt. 


Eigenschaften 

  • Tangente und Funktion verlaufen durch den gleichen Berührpunkt B. 
  • Tangente und Funktion haben im Berührpunkt die gleiche Steigung.

Mathematik; Differentialrechnung; 3. Gymi; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen


Tangentengleichung bestimmen

Tangentengleichung an der Stelle xBx_B​ mit dem Graphen der Funktion f(x)f\left(x\right)​ bestimmen.


Vorgehen

1.

​Falls nicht gegeben den y-Wert des Berührpunkts berechnen:
Setze xBx_B​ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yBy_B​.

2.

​Steigung m bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xBx_B​in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung mm​.

3.

​Allgemeine Geradengleichung für eine Tangente notieren und m einsetzen.

t(x)=mx+qt\left(x\right)=mx+q ​​

Hinweis: Gesucht ist qq​ (yy​-Achsenschnittpunkt).

4.

yy​-Achsenabschnitt qq​ bestimmen:

Die Werte xBx_B​ und yBy_B​ in die Tangentengleichung einsetzen: yB=mxB+qy_B=mx_B+q

Die Gleichung nach qq​ auflösen.

5.

​Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.



Beispiel

Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt B(1| yB)B\left(1\middle|\ y_B\right)​ des Graphen f(x)=0.5x31f\left(x\right)=0.5x^3-1​. 


Erste Ableitung: 

f(x)=1.5x2f^\prime\left(x\right)=1.5x^2 ​​

Steigung der Tangente: 

m=f(1)=1.512=1.5m=f^\prime\left(1\right)=1.5\cdot 1^2=1.5​​

yy​-Wert des Berührpunkts: 

f(1)=0.5131=0.5f\left(1\right)=0.5\cdot 1^3-1=-0.5 ​​

Einsetzen in die Tangentengleichung: 

0.5=1.51+q-0.5=1.5\cdot 1+q ​​

Auflösen nach qq​: 

2=q-2=q ​​

Tangentengleichung aufstellen: 

t(x)=1.5x2\underline{t\left(x\right)=1.5x-2}​​

 

Normalengleichung 

Definition 

Eine Normale n schneidet eine Funktion in einem Punkt senkrecht.


Eigenschaften 

  • Die Normale und die Funktion verlaufen durch den gleichen Punkt PP​.
  • Die Normale steht senkrecht zur Tangente der Funktion durch den Punkt PP​. 
Mathematik; Differentialrechnung; 3. Gymi; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen


Normalengleichung bestimmen 

Normalengleichung an der Stelle xPx_P​ mit dem Graphen der Funktion f(x)f\left(x\right)​ bestimmen.


Vorgehen

1.

​Falls nicht gegeben den y-Wert des Punkts berechnen: 

Setze xPx_P​ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yPy_P​.

2.

​Steigung m bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xPx_P​ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente mtm_t​. 
  • Senkrechte Steigung zur Tangentensteigung bilden: m=1mtm=-\frac{1}{m_t}​ 

Dies ist die Steigung der Normalen.

3.

Allgemeine Geradengleichung für eine Normale notieren und m einsetzen. 

n(x)=mx+qn\left(x\right)=mx+q ​​

Hinweis: Gesucht qq​ (yy-Achsenschnittpunkt).

4.

yy​-Achsenabschnitt q bestimmen: 

Die Werte xPx_P​ und yPy_P​ in die Normalengleichung einsetzen: yP=mxP+qy_P=mx_P+q​ 

Die Gleichung nach qq​ auflösen.

5.

​Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.

 

Mathematik; Differentialrechnung; 3. Gymi; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was versteht man unter einer Tangente?

Was ist die Steigung einer Tangente?

Wie bestimmt man eine Tangente?

Was versteht man unter einer Normalen.

Wie stehen Tangente und Normale zueinander?

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