Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung

Eine Tangente t berührt eine Funktion in einem Punkt.

Eigenschaften

Tangentengleichung an der Stelle $x_B$ mit dem Graphen der Funktion $f\left(x\right)$ bestimmen.

1.	Falls nicht gegeben den y-Wert des Berührpunkts berechnen: Setze $x_B$ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist $y_B$ .
2.	Steigung m bestimmen: Die erste Ableitung der Funktion bilden. $x_B$ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung $m$ .
3.	Allgemeine Geradengleichung für eine Tangente notieren und m einsetzen. $t\left(x\right)=mx+q$ *Hinweis:* Gesucht ist $q$ ( $y$ -Achsenschnittpunkt).
4.	$y$ -Achsenabschnitt $q$ bestimmen: Die Werte $x_B$ und $y_B$ in die Tangentengleichung einsetzen: $y_B=mx_B+q$ Die Gleichung nach $q$ auflösen.
5.	Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.

Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt $B\left(1\middle|\ y_B\right)$ des Graphen $f\left(x\right)=0.5x^3-1$ .

Erste Ableitung:

$f^\prime\left(x\right)=1.5x^2$ 

Steigung der Tangente:

$m=f^\prime\left(1\right)=1.5\cdot 1^2=1.5$ 

$y$ -Wert des Berührpunkts:

$f\left(1\right)=0.5\cdot 1^3-1=-0.5$

Einsetzen in die Tangentengleichung:

$-0.5=1.5\cdot 1+q$

Auflösen nach $q$ :

$-2=q$

Tangentengleichung aufstellen:

$\underline{t\left(x\right)=1.5x-2}$ 

Eine Normale n schneidet eine Funktion in einem Punkt senkrecht.

Normalengleichung an der Stelle $x_P$ mit dem Graphen der Funktion $f\left(x\right)$ bestimmen.

1.	Falls nicht gegeben den y-Wert des Punkts berechnen: Setze $x_P$ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist $y_P$ .
2.	Steigung m bestimmen: Die erste Ableitung der Funktion bilden. $x_P$ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente $m_t$ . Senkrechte Steigung zur Tangentensteigung bilden: $m=-\frac{1}{m_t}$ Dies ist die Steigung der Normalen.
3.	Allgemeine Geradengleichung für eine Normale notieren und m einsetzen. $n\left(x\right)=mx+q$ *Hinweis:* Gesucht $q$ * (* $y$ -Achsenschnittpunkt).
4.	$y$ -Achsenabschnitt q bestimmen: Die Werte $x_P$ und $y_P$ in die Normalengleichung einsetzen: $y_P=mx_P+q$ Die Gleichung nach $q$ auflösen.
5.	Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.