Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Definition

Der Definitionsbereich gibt den Zahlenbereich einer Funktion an, aus dem Zahlen für $x$ eingesetzt werden dürfen.

Schreibweisen

Es gibt verschiedene Arten, wie man den Definitionsbereich angeben kann.

GUTE VARIANTEN:

Gesamter Zahlenbereich

$\mathbb{D} = \reals$

Alle reellen Zahlen

Gesamter Zahlenbereich ohne einzelne Zahlen

$\mathbb{D} = \reals \backslash \{3 \}$

$\mathbb{D} = \reals \backslash \{0 ; 3\}$

Ohne 3

Ohne 0 und 3

Gesamter Zahlenbereich grösser/kleiner als eine Zahl

$\mathbb{D} = \{x \in \reals \vert x>3 \}$

$\mathbb{D} = \{x \in \reals \vert x \leq 3 \}$

$\mathbb{D} = \{x \in \reals \vert 0< x <3 \}$

Grösser als 3

Kleiner als und mit 3

Grösser als 0 und kleiner als 3

Eingeschränkte Funktionen

Elemente von Funktionen, durch die der Definitionsbereich eingeschränkt werden kann:

Bruch mit x im Nenner

Ein Nenner darf nicht Null sein:

$Nennerterm \neq 0$

Beispiel

Funktion	Definitionsbereich:
$\frac{2x^2}{x-1}$	$\mathbb{D} = \reals \backslash \{1 \}$

Wurzelinhalt mit $x$

Der Term unter der Wurzel darf nicht kleiner als Null sein:

$Wurzelinhalt \geq 0$

Beispiel

Funktion	Definitionsbereich:
$\sqrt{x-1}$	$\mathbb{D} = \{x \in \reals \vert x \geq 1 \}$

Logarithmusinhalt mit $x$

Der Term im Logarithmus darf nicht kleiner und gleich Null sein:

$log-Inhalt > 0$

Beispiel

Funktion	Definitionsbereich:
$log\left(x+2\right)$	$\mathbb{D} = \{x \in \reals \vert x>-2 \}$

Tangensinhalt mit $x$

Der Term im Tangens darf folgende Werte nicht annehmen:

$tan-Inhalt \neq...,-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},...$

Beispiel

Funktion	Definitionsbereich:
$tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$	$\mathbb{D} = \reals \backslash \{... ; -2 \pi;-\pi;0;\pi;2\pi;... \}$

Definitionsbereich bestimmen

VORGEHEN

1.

Prüfen der Funktionen bei:

Bruch mit $x$ im Nenner	Nullstellen der Terme im Nenner bestimmen.
Wurzelinhalt mit $x$	Ungleichung nach $x$ auflösen: $Wurzelinhalt\geq0$
log-Inhalt mit $x$	Ungleichung nach x $x$ auflösen: $log-Inhalt≥0$
Tangens-Inhalt mit $x$	Lösen der Gleichung: $tan-Inhalt \neq...,-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},...$

Hinweis: Es können mehrere Einschränkungen auftreten. Die Einschränkungen verbindet man im Definitionsbereich.Ist keine dieser Einschränkungen gegeben, ist der Definitionsbereich nicht eingeschränkt.

2.

Notiere den Definitionsbereich.