Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Definition

Vektoren sind linear abhängig, wenn man mindestens einen der Vektoren als Kombination der anderen Vektoren darstellen kann. Ansonsten sind sie linear unabhängig.

Zwei Vektoren

Linear abhängig		Linear unabhängig
Vektoren sind parallel.		Vektoren sind nicht parallel.
Die Gleichung hat eine Lösung für den Faktor s: ​$$\overrightarrow{a} = s \cdot \overrightarrow{b}$$​​		Die Gleichung hat keine Lösung für den Faktor s: ​$$\overrightarrow{a} = s \cdot \overrightarrow{b}$$​​
	​$$\overrightarrow{a} = -2 \cdot \overrightarrow{b}$$​​
Die Vektoren sind «kollinear».

Drei Vektoren

​Linear abhängig​	​Linear unabhängig​
​Die Vektoren befinden sich in einer Ebene.​	​Die Vektoren befinden sich nicht in einer Ebene.​
​Die Gleichung:​ ​hat eine Lösung bei der nicht alle Faktoren Null sind.​	​Die Gleichung: ​hat nur die Lösung:
​Die Vektoren sind «komplanar».​

Nullvektor

Eine Kombination aus Vektoren mit dem Nullvektor ist immer linear abhängig.

Hinweis zu 2-Dimensional

Im 2-Dimensionalen sind mehr als zwei Vektoren immer linear abhängig.

Hinweis zu 3-Dimensional

Im 3-Dimensionalen sind mehr als drei Vektoren immer linear abhängig.

Beispiele

Zwei Vektoren auf Kollinearität prüfen:

Gleichungssystem:	Gleichungssystem:
​ Lösung:  kollinear	    Lösung:  nicht kollinear