Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie kommt zum Zug, wenn ein Zufallsexperiment in Form einer Bernoulli-Kette vorliegt:
Nur zwei Ergebnisse sind möglich pro Bernoulli-Experiment
Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeit bei den einzelnen Bernoulli-Experimenten ist immer gleich.
Man sagt auch, dass die Binomialverteilung die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist.
Funktionen
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird von der Bernoulli-Kette übernommen.
P(X=k)=(kn)⋅pk⋅(1−p)n−k
p
Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis
n
Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments
k
Anzahl Treffer
Schreibweise:Für eine Binomialverteilung schreibt man anstatt P(X=k)auch Bn,p(X=k) oderBn,p(k).
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion summiert mehrere Ergebnisse (Wahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, in einer Bernoulli-Kette eine Anzahl von Erfolgen (bezeichnet mit X) zu erzielen die zwischen x und k liegt.
F(k≤X≤x)=i=k∑x(in)⋅pi⋅(1−p)n−i
p
Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis
n
Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments
x
Obergrenze der Treffer
k
Untergrenze der Treffer
i
Laufvariable
Kennwerte
Erwartungswert
E(X)=n⋅p
Varianz
V(X)=n⋅p⋅(1−p)
Standardabweichung
σ(X)=n⋅p⋅(1−p)
Beispiel
Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% den Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 10 Würfen 8 oder mehr Körbe erzielt?
Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie kommt Zug, wenn ein Zufallexperiment in Form einer Bernoulli-Kette vorliegt. Nur zwei Ergebnisse sind möglich pro Bernoulli-Experiment. Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander.
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