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Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Brüche

Erklärvideo

Zusammenfassung

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.

Lokale Extrema

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten.

«Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T).
«Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H).

Globale Extrema

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Lokale Extrema bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:

VORGEHEN

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: $f'\left(x\right)$ und $f''\left(x\right)$

«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung.

$f^\prime\left(x\right)=0$

Die $x$ -Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.

«Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0$	$\longrightarrow$	Tiefpunkt
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0$	$\longrightarrow$	Hochpunkt
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0$	$\longrightarrow$	Sattelpunkt

$y$ -Werte berechnen:
Extremwerte $x_E$ in $f(x)$ einsetzen, um die zugehörigen $y$ -Werte zu erhalten.

Beispiel

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Ableitungen:

Erste Ableitung: $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$ 

Zweite Ableitung: $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$ 

Notwendige Bedingung: $f^\prime\left(x\right)=0$ 

$3x^2-6x-9=0$

Auflösen:

$x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3$

Hinreichende Bedingung: $f'' \left(x\right)\neq0$ 

$x_{E1}=-1$ prüfen: $f'' \left(-1\right)=-12$ $\longrightarrow$ Hochpunkt

$x_{E2}=3$ prüfen: $f'' \left(3\right)=12$ $\longrightarrow$ Tiefpunkt

Zugehörige y-Werte:

$f\left(-1\right)=32$

$f\left(3\right)=0$

Extrempunkte: $H\left(-1\middle|32\right), T\left(3\middle|0\right)$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Teil 2

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Teil 3

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Teil 4

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Abkürzung

Optional

Teil 5

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Finaler Test

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt hat ebenso wie ein Extrema keine Steigung. Allerdings ist in ihm die zweite Ableitung Null. Im Funktionsgraphen sehen Sattelpunkte wie Plateau-Stellen aus.

Was ist der Unterschied zwischen hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung?

Die notwendige Bedingung gibt Punkte an, in welchen keine Steigung vorliegt. Diese sind potentielle Extrema. Um zu testen, ob tatsächlich ein Extrema vorliegt, braucht man die hinreichende Bedingung, welche besagt, dass an dem Punkt die zweite Ableitung nicht Null sein darf.

Was ist der Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Extrempunkt?

Ein globaler Extrempunkt ist der Punkt auf dem Graphen, welcher den höchsten/tiefsten Funktionswert im gesamten Definitionsbereich der Funktion hat. Ein lokaler Extrempunkt hat nur in einem gewissen Intervall den höchsten/tiefsten Funktionswert.

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Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

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Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

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Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.

Lokale Extrema

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten.

«Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T).
«Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H).

Globale Extrema

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Lokale Extrema bestimmen

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:

VORGEHEN

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: $f'\left(x\right)$ und $f''\left(x\right)$

«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung.

$f^\prime\left(x\right)=0$

Die $x$ -Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.

«Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0$	$\longrightarrow$	Tiefpunkt
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0$	$\longrightarrow$	Hochpunkt
$f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0$	$\longrightarrow$	Sattelpunkt

$y$ -Werte berechnen:
Extremwerte $x_E$ in $f(x)$ einsetzen, um die zugehörigen $y$ -Werte zu erhalten.

Beispiel

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Ableitungen:

Erste Ableitung: $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$ 

Zweite Ableitung: $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$ 

Notwendige Bedingung: $f^\prime\left(x\right)=0$ 

$3x^2-6x-9=0$

Auflösen:

$x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3$

Hinreichende Bedingung: $f'' \left(x\right)\neq0$ 

$x_{E1}=-1$ prüfen: $f'' \left(-1\right)=-12$ $\longrightarrow$ Hochpunkt

$x_{E2}=3$ prüfen: $f'' \left(3\right)=12$ $\longrightarrow$ Tiefpunkt

Zugehörige y-Werte:

$f\left(-1\right)=32$

$f\left(3\right)=0$

Extrempunkte: $H\left(-1\middle|32\right), T\left(3\middle|0\right)$

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Dauer:

Teil 1

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Teil 2

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Teil 3

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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Abkürzung

Optional

Teil 5

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt hat ebenso wie ein Extrema keine Steigung. Allerdings ist in ihm die zweite Ableitung Null. Im Funktionsgraphen sehen Sattelpunkte wie Plateau-Stellen aus.