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Zusammenfassung

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition 

Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion. 


Lokale Extrema 

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten. 

  • «Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T). 
  • «Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H). 


Globale Extrema 

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.


Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Lokale und globale Extrempunkte bestimmen


Lokale Extrema bestimmen 

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:


VORGEHEN

1.

​Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f′(x)f'\left(x\right)f′(x)​ und f′′(x)f''\left(x\right)f′′(x)​​

2.

​«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen xEx_ExE​​ der ersten Ableitung. 

​f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0 f′(x)=0​​

Die xxx​-Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.

3.

​«Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

​f′′(xE)>0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0f′′(xE​)>0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

​Tiefpunkt

​f′′(xE)<0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0f′′(xE​)<0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

Hochpunkt

​f′′(xE)=0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0f′′(xE​)=0​​

​⟶\longrightarrow⟶​​

Sattelpunkt

4.

​yyy​-Werte berechnen:
Extremwerte xEx_ExE​​ in f(x)f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yyy​-Werte zu erhalten.



Beispiel 

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27 f(x)=x3−3x2−9x+27​​

Ableitungen: 

Erste Ableitung: f′(x)=3x2−6x−9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9​ 

Zweite Ableitung:  f′′(x)=6x−6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6  f′′(x)=6x−6​


Notwendige Bedingung: f′(x)=0 f^\prime\left(x\right)=0 f′(x)=0​

​3x2−6x−9=03x^2-6x-9=0 3x2−6x−9=0​​

Auflösen: 

​xE1=−1,  xE2=3x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3 xE1​=−1,  xE2​=3​​


Hinreichende Bedingung: f′′(x)≠0f'' \left(x\right)\neq0 f′′(x)=0​

xE1=−1x_{E1}=-1xE1​=−1​ prüfen: f′′(−1)=−12f'' \left(-1\right)=-12f′′(−1)=−12​ ⟶\longrightarrow⟶​ Hochpunkt 

xE2=3x_{E2}=3xE2​=3​ prüfen: f′′(3)=12f'' \left(3\right)=12f′′(3)=12​ ⟶\longrightarrow⟶​ Tiefpunkt 


Zugehörige y-Werte: 

​f(−1)=32f\left(-1\right)=32 f(−1)=32​​

​f(3)=0f\left(3\right)=0 f(3)=0​​


Extrempunkte: H(−1|32),T(3|0)H\left(-1\middle|32\right), T\left(3\middle|0\right)H(−1∣32),T(3∣0)​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Ein Sattelpunkt hat ebenso wie ein Extrema keine Steigung. Allerdings ist in ihm die zweite Ableitung Null. Im Funktionsgraphen sehen Sattelpunkte wie Plateau-Stellen aus.

Was ist der Unterschied zwischen hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung?

Die notwendige Bedingung gibt Punkte an, in welchen keine Steigung vorliegt. Diese sind potentielle Extrema. Um zu testen, ob tatsächlich ein Extrema vorliegt, braucht man die hinreichende Bedingung, welche besagt, dass an dem Punkt die zweite Ableitung nicht Null sein darf.

Was ist der Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Extrempunkt?

Ein globaler Extrempunkt ist der Punkt auf dem Graphen, welcher den höchsten/tiefsten Funktionswert im gesamten Definitionsbereich der Funktion hat. Ein lokaler Extrempunkt hat nur in einem gewissen Intervall den höchsten/tiefsten Funktionswert.

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