Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition

Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten.

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:

1.

Bestimme die erste und die zweite Ableitung: $f'\left(x\right)$ und $f''\left(x\right)$

2.

«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung.

$f^\prime\left(x\right)=0$

Die $x$ -Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.

3.

«Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

4.

$y$ -Werte berechnen:
Extremwerte $x_E$ in $f(x)$ einsetzen, um die zugehörigen $y$ -Werte zu erhalten.

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27$

Ableitungen:

Erste Ableitung: $f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9$ 

Zweite Ableitung: $\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6$ 

Notwendige Bedingung: $f^\prime\left(x\right)=0$ 

$3x^2-6x-9=0$

Auflösen:

$x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3$

Hinreichende Bedingung: $f'' \left(x\right)\neq0$ 

$x_{E1}=-1$ prüfen: $f'' \left(-1\right)=-12$ $\longrightarrow$ Hochpunkt

$x_{E2}=3$ prüfen: $f'' \left(3\right)=12$ $\longrightarrow$ Tiefpunkt

Zugehörige y-Werte:

$f\left(-1\right)=32$

$f\left(3\right)=0$

Extrempunkte: $H\left(-1\middle|32\right), T\left(3\middle|0\right)$