Lokale und globale Extrempunkte bestimmen
Definition
Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.
Lokale Extrema
Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten.
- «Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T).
- «Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H).
Globale Extrema
Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.
Lokale Extrema bestimmen
Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:
VORGEHEN
1.
| Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f′(x) und f′′(x)
|
2.
| «Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen xE der ersten Ableitung. f′(x)=0 Die x-Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.
|
3.
| «Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:
f′′(xE)>0
| | Tiefpunkt
| f′′(xE)<0
| | Hochpunkt
| f′′(xE)=0
| | Sattelpunkt
|
|
4.
| y-Werte berechnen:
Extremwerte xE in f(x) einsetzen, um die zugehörigen y-Werte zu erhalten.
|
Beispiel
Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27
Ableitungen:
Erste Ableitung: f′(x)=3x2−6x−9
Zweite Ableitung: f′′(x)=6x−6
Notwendige Bedingung: f′(x)=0
3x2−6x−9=0
Auflösen:
xE1=−1, xE2=3
Hinreichende Bedingung: f′′(x)=0
xE1=−1 prüfen: f′′(−1)=−12 ⟶ Hochpunkt
xE2=3 prüfen: f′′(3)=12 ⟶ Tiefpunkt
Zugehörige y-Werte:
f(−1)=32
f(3)=0
Extrempunkte: H(−1∣32),T(3∣0)
Lokale und globale Extrempunkte bestimmen
Definition
Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion.
Lokale Extrema
Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten.
- «Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T).
- «Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H).
Globale Extrema
Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.
Lokale Extrema bestimmen
Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:
VORGEHEN
1.
| Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f′(x) und f′′(x)
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2.
| «Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen xE der ersten Ableitung. f′(x)=0 Die x-Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.
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3.
| «Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:
f′′(xE)>0
| | Tiefpunkt
| f′′(xE)<0
| | Hochpunkt
| f′′(xE)=0
| | Sattelpunkt
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4.
| y-Werte berechnen:
Extremwerte xE in f(x) einsetzen, um die zugehörigen y-Werte zu erhalten.
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Beispiel
Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x3−3x2−9x+27
Ableitungen:
Erste Ableitung: f′(x)=3x2−6x−9
Zweite Ableitung: f′′(x)=6x−6
Notwendige Bedingung: f′(x)=0
3x2−6x−9=0
Auflösen:
xE1=−1, xE2=3
Hinreichende Bedingung: f′′(x)=0
xE1=−1 prüfen: f′′(−1)=−12 ⟶ Hochpunkt
xE2=3 prüfen: f′′(3)=12 ⟶ Tiefpunkt
Zugehörige y-Werte:
f(−1)=32
f(3)=0
Extrempunkte: H(−1∣32),T(3∣0)
