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Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

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Zusammenfassung

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Definition 

Extrema sind die lokalen und globalen Maxima und Minima einer Funktion. 


Lokale Extrema 

Lokale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten, unabhängig von den Grenzwerten. 

  • «Lokales Minimum»: Punkt mit dem kleinsten y-Wert, «Tiefpunkt» (T). 
  • «Lokales Maximum»: Punkt mit grössten y-Wert, «Hochpunkt» (H). 


Globale Extrema 

Globale Extrema sind die Stellen/Punkte der Funktion mit den grössten bzw. kleinsten y-Werten. Hier werden auch die Grenzwerte beachtet.


Mathematik; Kurvendiskussion; Passerelle; Lokale und globale Extrempunkte bestimmen


Lokale Extrema bestimmen 

Mit dem folgenden Vorgehen bestimmt man die lokalen Extrempunkte:


VORGEHEN

1.

​Bestimme die erste und die zweite Ableitung: f(x)f'\left(x\right)​ und f(x)f''\left(x\right)​​

2.

​«Notwendige Bedingung»: Berechne die Nullstellen xEx_E​ der ersten Ableitung. 

f(x)=0f^\prime\left(x\right)=0 ​​

Die xx​-Werte der Nullstellen sind potentielle Extremwerte.

3.

​«Hinreichende Bedingung»:
Setze die erhaltenen x-Werte einzeln in die zweite Ableitung ein und prüfe:

f(xE)>0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)>0​​

\longrightarrow​​

​Tiefpunkt

f(xE)<0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)<0​​

\longrightarrow​​

Hochpunkt

f(xE)=0f^{\prime\prime}\left(x_E\right)=0​​

\longrightarrow​​

Sattelpunkt

4.

yy​-Werte berechnen:
Extremwerte xEx_E​ in f(x)f(x)​ einsetzen, um die zugehörigen yy​-Werte zu erhalten.



Beispiel 

Bestimme die lokalen Extrempunkte der Funktion: f(x)=x33x29x+27f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+27 ​​

Ableitungen: 

Erste Ableitung: f(x)=3x26x9f^\prime\left(x\right)=3x^2-6x-9​ 

Zweite Ableitung:  f(x)=6x6\ f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x-6


Notwendige Bedingung: f(x)=0 f^\prime\left(x\right)=0

3x26x9=03x^2-6x-9=0 ​​

Auflösen: 

xE1=1,  xE2=3x_{E1}=-1,\ \ x_{E2}=3 ​​


Hinreichende Bedingung: f(x)0f'' \left(x\right)\neq0

xE1=1x_{E1}=-1​ prüfen: f(1)=12f'' \left(-1\right)=-12​ \longrightarrow​ Hochpunkt 

xE2=3x_{E2}=3​ prüfen: f(3)=12f'' \left(3\right)=12​ \longrightarrow​ Tiefpunkt 


Zugehörige y-Werte: 

f(1)=32f\left(-1\right)=32 ​​

f(3)=0f\left(3\right)=0 ​​


Extrempunkte: H(1|32),T(3|0)H\left(-1\middle|32\right), T\left(3\middle|0\right)​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Sattelpunkt?

Was ist der Unterschied zwischen hinreichender Bedingung und notwendiger Bedingung?

Was ist der Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Extrempunkt?

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