Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition 

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.

Senktrechte Asymptote	Waagerechte Asymptote
​ ​$$y$$​-Achse als Asymptote	​$$x$$​-Achse als Asymptote

Berechnung 

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Vorgehen

Beispiel 

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion $$f\left(x\right)$$​ und der $$x$$​-Achse im Intervall von $$x=-\infty$$​ bis $$x=0$$​. 

​$$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$$​​

Einsetzen:

$$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$$​​

Funktion integrieren:

​$$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$$​​

Grenzwert bilden:

​$$\underline{=\frac{1}{2}}$$​​