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Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition 

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.


Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote


Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

yy​-Achse als Asymptote


Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

xx​-Achse als Asymptote


Berechnung 

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:


​Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

A=lima0abf(x)dxA=\lim\limits_{a\rightarrow0}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}​​

A=limbabf(x)dxA=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}​​


Vorgehen

1.

​Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein.Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter.

2.

​Integriere die Funktion.

3.

​Bilde den Grenzwert. bb\rightarrow\infty​ oder a0a\rightarrow0​​



Beispiel 

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion f(x)f\left(x\right)​ und der xx​-Achse im Intervall von x=x=-\infty​ bis x=0x=0​. 

f(x)=12exf\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x​​


Einsetzen:

limaa012exdx\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}​​


Funktion integrieren:

=lima[12ex]a0=lima12e012ea=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a​​


Grenzwert bilden:

=12\underline{=\frac{1}{2}}​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Arten von Asymptoten gibt es?

Wie berechnet man uneigentliche Integrale?

Was sind uneigentliche Integrale?

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