Welche Arten von Asymptoten gibt es?

Es gibt waagerechte und senkrechte Asymptoten.

Wie berechnet man uneigentliche Integrale?

1. Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein. Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter. 2. Integriere die Funktion. 3. Bilde den Grenzwert, abhängig von der Asymptote. Für die x- und y-Achsen zB: b→∞ oder a→0.

Was sind uneigentliche Integrale?

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächeninhalte an solchen Asymptoten können sowohl unendlich groß, als auch begrenzt sein. Das ist unabhängig davon, ob die Fläche selbst in positive bzw. negative x- oder y-Richtung begrenzt ist.

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Mathematik

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Mathe_Matura_01AN_03_Integralrechnung_08_Uneigentliches Integral 0

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Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.

Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

$y$ -Achse als Asymptote

$x$ -Achse als Asymptote

Berechnung

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Senktrechte Asymptote	Waagerechte Asymptote
$A=\lim\limits_{a\rightarrow0}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$	$A=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

Vorgehen

1.	Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein.Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter.
2.	Integriere die Funktion.
3.	Bilde den Grenzwert. $b\rightarrow\infty$ oder $a\rightarrow0$

Beispiel

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion $f\left(x\right)$ und der $x$ -Achse im Intervall von $x=-\infty$ bis $x=0$ .

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$

Einsetzen:

$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$

Funktion integrieren:

$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$

Grenzwert bilden:

$\underline{=\frac{1}{2}}$

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.

Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

$y$ -Achse als Asymptote

$x$ -Achse als Asymptote

Berechnung

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Senktrechte Asymptote	Waagerechte Asymptote
$A=\lim\limits_{a\rightarrow0}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$	$A=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

Vorgehen

1.	Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein.Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter.
2.	Integriere die Funktion.
3.	Bilde den Grenzwert. $b\rightarrow\infty$ oder $a\rightarrow0$

Beispiel

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion $f\left(x\right)$ und der $x$ -Achse im Intervall von $x=-\infty$ bis $x=0$ .

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$

Einsetzen:

$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$

Funktion integrieren:

$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$

Grenzwert bilden:

$\underline{=\frac{1}{2}}$

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Welche Arten von Asymptoten gibt es?

Antwort: Es gibt waagerechte und senkrechte Asymptoten.
Frage: Wie berechnet man uneigentliche Integrale?

Antwort: 1. Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein. Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter. 2. Integriere die Funktion. 3. Bilde den Grenzwert, abhängig von der Asymptote. Für die x- und y-Achsen zB: b→∞ oder a→0.
Frage: Was sind uneigentliche Integrale?

Antwort: Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächeninhalte an solchen Asymptoten können sowohl unendlich groß, als auch begrenzt sein. Das ist unabhängig davon, ob die Fläche selbst in positive bzw. negative x- oder y-Richtung begrenzt ist.

Theorie

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Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Berechnung

​Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Beispiel

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Berechnung

​Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Beispiel

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Ich habe die Theorie verstanden.

Senktrechte Asymptote

Senktrechte Asymptote