Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.

Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

$y$ -Achse als Asymptote

Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

$x$ -Achse als Asymptote

Berechnung

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Senktrechte Asymptote	Waagerechte Asymptote
$A=\lim\limits_{a\rightarrow0}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$	$A=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

Vorgehen

1.	Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein.Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter.
2.	Integriere die Funktion.
3.	Bilde den Grenzwert. $b\rightarrow\infty$ oder $a\rightarrow0$

Beispiel

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion $f\left(x\right)$ und der $x$ -Achse im Intervall von $x=-\infty$ bis $x=0$ .

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$

Einsetzen:

$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$

Funktion integrieren:

$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$

Grenzwert bilden:

$\underline{=\frac{1}{2}}$