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Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

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Zusammenfassung

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition 

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächen an solchen Asymptoten können endlos (unendlich) als auch begrenzt sein.


Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

​

Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

​yyy​-Achse als Asymptote


Mathematik; Integralrechnung; 3. Gymi; Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

​xxx​-Achse als Asymptote


Berechnung 

Die Fläche an der Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:


​Senktrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

​A=lim⁡a→0∫abf(x)dxA=\lim\limits_{a\rightarrow0}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}A=a→0lim​∫ab​f(x)dx​​

​A=lim⁡b→∞∫abf(x)dxA=\lim\limits_{b\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}A=b→∞lim​∫ab​f(x)dx​​


Vorgehen

1.

​Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein.Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter.

2.

​Integriere die Funktion.

3.

​Bilde den Grenzwert. b→∞b\rightarrow\inftyb→∞​ oder a→0a\rightarrow0a→0​​



Beispiel 

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion f(x)f\left(x\right)f(x)​ und der xxx​-Achse im Intervall von x=−∞x=-\inftyx=−∞​ bis x=0x=0x=0​. 

​f(x)=12exf\left(x\right)=\frac{1}{2}e^xf(x)=21​ex​​


Einsetzen:

lim⁡a→−∞∫a012exdx\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}a→−∞lim​∫a0​21​exdx​​


Funktion integrieren:

​=lim⁡a→−∞[12ex]a0=lim⁡a→−∞12e0−12ea=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0} \\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a=a→−∞lim​[21​ex]a0​=a→−∞lim​21​e0−21​ea​​


Grenzwert bilden:

​=12‾\underline{=\frac{1}{2}}=21​​​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Arten von Asymptoten gibt es?

Es gibt waagerechte und senkrechte Asymptoten.

Wie berechnet man uneigentliche Integrale?

1. Setze die Integrationsgrenzen und die Funktion in die Formel ein. Setze die Integrationsgrenzen an der Asymptote als Parameter. 2. Integriere die Funktion. 3. Bilde den Grenzwert, abhängig von der Asymptote. Für die x- und y-Achsen zB: b→∞ oder a→0.

Was sind uneigentliche Integrale?

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächeninhalte an solchen Asymptoten können sowohl unendlich groß, als auch begrenzt sein. Das ist unabhängig davon, ob die Fläche selbst in positive bzw. negative x- oder y-Richtung begrenzt ist.

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