Arten und Darstellungen von Folgen

Definition

Eine Folge $a_n$ ist eine Auflistung von Zahlen, in der jeder natürlichen Zahl eine bestimmte Zahl zugeordnet wird. Oftmals besteht zwischen den einzelnen Gliedern der Folge eine Gesetzmässigkeit (vergleiche Beispiel). Durch den Index $n$ wird angegeben, um das wievielte Glied der Folge es sich handelt. $a_3$ ist beispielsweise das dritte Glied der Folge $a_n$ .

Beispiel

Mathematik; Folgen und Reihen; IMS; Arten und Darstellungen von Folgen

Darstellungsarten

Folgen kann man auf zwei verschiedene Arten mathematisch (als Formel) darstellen. Oftmals kann eine Folge von der einen Darstellungsart in die andere umgewandelt werden.

Explizite Darstellung (Explizite Folge)

Glieder der Folge können durch das Einsetzen von natürlichen Zahlen berechnet werden. Die jeweiligen Vorgänger eines Folgenglieds beeinflussen dieses Folgenglied nicht.

Beispiel

a_n=\frac{n+{(-1)}^n}{n}

a_1=\frac{1+{(-1)}^1}{1}=0

a_2=\frac{2+{(-1)}^2}{2}=1,5

Hinweis: Manche Folgen beginnen mit $a_1$ als Startwert, andere mit $a_0$ .

Rekursive Darstellung (Rekursive Folge)

Das nachfolgende Glied wird durch seine $m$ Vorgänger berechnet. Oftmals ist $m=1$ und man benötigt nur einen vorangegangenen Wert der Folge (nämlich $a_{n-1}$ ). Es gibt allerdings auch Fälle für welche $m>1$ gilt. Dann werden mehrere vorangegangene Glieder benötigt, um das nächste zu berechnen.

Beispiel

a_n=a_{n-1}+2

Startwert:

a_1=1

a_2=a_1+2=1+2=3

Hinweis: Manche Folgen beginnen mit als Startwert, andere mit $a_1$ $a_0$ .

Arithmetische und geometrische Folge

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz zwischen Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.

Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert plus ein Summand $d$ .

REKURSIV	$a_n=a_{n-1}+d$	$d$ ist konstant: $d=a_n-a_{n-1}$
EXPLIZIT	$a_n=a_1+d\cdot\left(n-1\right)$	$d$ ist konstant: $d=a_n-a_{n-1}$

Hinweis: Hier ist $a_1$ das erste Folgenglied und somit der Startwert.

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der der Quotient von Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.

Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert multipliziert mit einem Faktor $q$ .

REKURSIV	$a_n=a_{n-1}\cdot q$	$q$ ist konstant: $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$
EXPLIZIT	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$	$q$ ist konstant: $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$

Hinweis: Hier ist $a_1$ das erste Folgenglied und somit der Startwert.