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Erklärvideo

Zusammenfassung

Arten und Darstellungen von Folgen 

Definition

Eine Folge ana_nan​​ ist eine Auflistung von Zahlen, in der jeder natürlichen Zahl eine bestimmte Zahl zugeordnet wird. Oftmals besteht zwischen den einzelnen Gliedern der Folge eine Gesetzmässigkeit (vergleiche Beispiel). Durch den Index nnn​ wird angegeben, um das wievielte Glied der Folge es sich handelt. a3a_3a3​​ ist beispielsweise das dritte Glied der Folge ana_nan​​. 


Beispiel
Mathematik; Folgen und Reihen; IMS; Arten und Darstellungen von Folgen


Darstellungsarten

Folgen kann man auf zwei verschiedene Arten mathematisch (als Formel) darstellen. Oftmals kann eine Folge von der einen Darstellungsart in die andere umgewandelt werden.


Explizite Darstellung (Explizite Folge)

Glieder der Folge können durch das Einsetzen von natürlichen Zahlen berechnet werden. Die jeweiligen Vorgänger eines Folgenglieds beeinflussen dieses Folgenglied nicht.


Beispiel
​an=n+(−1)nna_n=\frac{n+{(-1)}^n}{n}an​=nn+(−1)n​​​
​a1=1+(−1)11=0a_1=\frac{1+{(-1)}^1}{1}=0a1​=11+(−1)1​=0​​
​a2=2+(−1)22=1,5a_2=\frac{2+{(-1)}^2}{2}=1,5a2​=22+(−1)2​=1,5​​


Hinweis: Manche Folgen beginnen mit a1a_1a1​ als Startwert, andere mit a0a_0a0​.


Rekursive Darstellung (Rekursive Folge)

Das nachfolgende Glied wird durch seine mmm​ Vorgänger berechnet. Oftmals ist m=1m=1m=1​ und man benötigt nur einen vorangegangenen Wert der Folge (nämlich an−1a_{n-1}an−1​​). Es gibt allerdings auch Fälle für welche m>1m>1m>1​ gilt. Dann werden mehrere vorangegangene Glieder benötigt, um das nächste zu berechnen.


Beispiel
​an=an−1+2a_n=a_{n-1}+2an​=an−1​+2​​
Startwert: a1=1a_1=1a1​=1​​
​a2=a1+2=1+2=3a_2=a_1+2=1+2=3a2​=a1​+2=1+2=3​​


Hinweis: Manche Folgen beginnen mit  als Startwert, andere mit a1a_1a1​a0a_0a0​.



Arithmetische und geometrische Folge

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz zwischen Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.

Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert plus ein Summand ddd​.

REKURSIV
​an=an−1+da_n=a_{n-1}+dan​=an−1​+d​​

ddd​ ist konstant: d=an−an−1d=a_n-a_{n-1}d=an​−an−1​​

EXPLIZIT
​an=a1+d⋅(n−1)a_n=a_1+d\cdot\left(n-1\right)an​=a1​+d⋅(n−1)​​


Hinweis: Hier ist a1a_1a1​​ das erste Folgenglied und somit der Startwert.


Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der der Quotient von Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.

Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert multipliziert mit einem Faktor qqq​.

REKURSIV
​an=an−1⋅qa_n=a_{n-1}\cdot qan​=an−1​⋅q​​

qqq​ ist konstant: q=anan−1q=\frac{a_n}{a_{n-1}}q=an−1​an​​​

EXPLIZIT
​an=a1⋅qn−1a_n=a_1\cdot q^{n-1}an​=a1​⋅qn−1​​


Hinweis: Hier ist a1a_1a1​​ das erste Folgenglied und somit der Startwert.



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Folge?

Eine Folge ist eine Auflistung von Zahlen, zwischen denen eine Gesetzmässigkeit besteht.

Was ist eine explizite Folge?

Glieder der Folge können durch das Einsetzten von natürlichen Zahlen berechnet werden. Die Vorgänger von Gliedern werden in der Folge nicht beachtet.

Was ist eine rekursive Folge?

Das nachfolgende Glied wird duch seinen Vorgänger berechnet. Man benötigt einen vorangegangenen Wert der Folge um den nächsten Wert zu berechnen.

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