Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Definition

Eine $(m,n)-\$ Matrix ist eine „Tabelle“ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Die Elemente der Matrix (=Einträge) sowie jegliche Koeffizienten sind normalerweise reelle Zahlen.

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \vdots&\vdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n$

$a_{ij}$ markiert das Element in der $i$ -ten Zeile und der $j$ -ten Spalte.

Beispiel $\left(3,3\right)-$ Matrix

$A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right)$

$a_{11}=6,\ \ a_{21}=3,\ a_{31}=-1,\ a_{12}=1\ \ usw.$

Begriffe

DIMENSION	Die Dimension $d$ entspricht der Anzahl Zeilen und Spalten $n$ : $d=m\times n$
QUADRATISCH	Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen: $m=n$ . (Dimension: $n^2$ )
HAUPTDIAGONALE	Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix beinhaltet alle Einträge der Diagonalen: $a_{ii}$ . ( $a_{11},\ a_{22},\ ..\ )$

Spezielle Matrizen

NULLMATRIX « $0$ »	Alle Einträge der Matrix sind gleich 0. $0_{mn}$ : $m\times n-$ Nullmatrix	$\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)$
EINHEITSMATRIX «E» (nur bei quadratischen Matrizen)	Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind 1, alle anderen sind gleich 0. $E_n$ : $n\times n-$ Einheitsmatrix	$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$
DIAGONALMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)	Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.	$\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right)$
OBERE DREIECKSMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)	Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.	$\left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$
UNTERE DREIECKSMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)	Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.	$\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)$

Hinweis: Die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix dürfen auch Null sein.

Transponierte Matrix

Definition

Die transponierte Matrix $A^T$ von $A$ erhält man, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden.

Die Matrix wird „umgedreht“.

A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right)

Eigenschaften

$\left(A^T\right)^T=A$	Wird eine bereits transponierte Matrix erneut transponiert, ergibt dies die ursprüngliche Matrix.
$\left(A+B\right)^T=A^T+B^T$	Wird die Summe zweier Matrizen transponiert, entspricht dies der Summe der zwei einzeln transponierten Matrizen.
${(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T$	Wird ein Vielfaches einer Matrix transponiert, entspricht dies dem Vielfachen der transponierten Matrix ( $r$ : reelle Zahl).
${(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T$	Wird das Produkt von zwei Matrizen transponiert, ist dies das Produkt der einzeln transponierten Matrizen in umgekehrter Reihenfolge.