Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen Definition Eine ( m , n ) − (m,n)-\ ( m , n ) − Matrix ist eine „Tabelle“ mit m m m Zeilen und n n n Spalten. Die Elemente der Matrix (=Einträge) sowie jegliche Koeffizienten sind normalerweise reelle Zahlen.
A = ( a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 n a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 a m 3 ⋯ a m n ) = ( a i j ) 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \vdots&\vdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n A = a 11 a 21 a 31 ⋮ a m 1 a 12 a 22 a 32 ⋮ a m 2 a 13 a 23 a 33 ⋮ a m 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n a 3 n ⋮ a mn = ( aij ) 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
a i j a_{ij} a ij i i i j j j
Beispiel ( 3 , 3 ) − \left(3,3\right)- ( 3 , 3 ) − Matrix
A = ( 6 1 8 3 8 3 − 1 − 1 0 ) A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right) A = 6 3 − 1 1 8 − 1 8 3 0
a 11 = 6 , a 21 = 3 , a 31 = − 1 , a 12 = 1 u s w . a_{11}=6,\ \ a_{21}=3,\ a_{31}=-1,\ a_{12}=1\ \ usw. a 11 = 6 , a 21 = 3 , a 31 = − 1 , a 12 = 1 u s w .
Begriffe DIMENSION Die Dimension d d d entspricht der Anzahl Zeilen und Spalten n n n : d = m × n d=m\times n d = m × n
QUADRATISCH Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen: m = n m=n m = n . (Dimension: n 2 n^2 n 2 )
HAUPTDIAGONALE Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix beinhaltet alle Einträge der Diagonalen: a i i a_{ii} a ii . (a 11 , a 22 , . . ) a_{11},\ a_{22},\ ..\ ) a 11 , a 22 , .. )
Spezielle Matrizen NULLMATRIX «0 0 0 » Alle Einträge der Matrix sind gleich 0.
0 m n 0_{mn} 0 mn m × n − m\times n- m × n − Nullmatrix
( 0 0 0 0 0 0 ) \left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right) 0 0 0 0 0 0
EINHEITSMATRIX «E» (nur bei quadratischen Matrizen)
Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind 1, alle anderen sind gleich 0.
E n E_n E n n × n − n\times n- n × n − Einheitsmatrix
( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right) 1 0 0 0 1 0 0 0 1
DIAGONALMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)
Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
( − 1 0 0 0 4 0 0 0 18 ) \left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right) − 1 0 0 0 4 0 0 0 18
OBERE DREIECKSMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)
Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
( 3 3 2 0 7 − 1 0 0 1 ) \left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right) 3 0 0 3 7 0 2 − 1 1
UNTERE DREIECKSMATRIX (nur bei quadratischen Matrizen)
Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
( 3 0 0 1 − 1 0 5 − 9 1 ) \left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right) 3 1 5 0 − 1 − 9 0 0 1
Hinweis : Die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix dürfen auch Null sein.
Transponierte Matrix Definition Die transponierte Matrix A T A^T A T von A A A erhält man, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden.
Die Matrix wird „umgedreht“.
A = ( 1 3 − 4 0 2 − 5 ) → A T = ( 1 − 4 2 3 0 − 5 ) A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right) A = 1 − 4 2 3 0 − 5 → A T = ( 1 3 − 4 0 2 − 5 )
Eigenschaften
( A T ) T = A \left(A^T\right)^T=A ( A T ) T = A
Wird eine bereits transponierte Matrix erneut transponiert, ergibt dies die ursprüngliche Matrix.
( A + B ) T = A T + B T \left(A+B\right)^T=A^T+B^T ( A + B ) T = A T + B T
Wird die Summe zweier Matrizen transponiert, entspricht dies der Summe der zwei einzeln transponierten Matrizen.
( r ⋅ A ) T = r ⋅ A T {(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T ( r ⋅ A ) T = r ⋅ A T
Wird ein Vielfaches einer Matrix transponiert, entspricht dies dem Vielfachen der transponierten Matrix ( r r r : reelle Zahl).
( A ⋅ B ) T = B T ⋅ A T {(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T ( A ⋅ B ) T = B T ⋅ A T
Wird das Produkt von zwei Matrizen transponiert, ist dies das Produkt der einzeln transponierten Matrizen in umgekehrter Reihenfolge.
