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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

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Lineare Abbildungen mit Matrizen

Erklärvideo

Lehrperson: Chiara

Zusammenfassung

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Definition

Eine (m,n)− (m,n)-\ (m,n)− ​Matrix ist eine „Tabelle“ mit mmm​ Zeilen und nnn​ Spalten. Die Elemente der Matrix (=Einträge) sowie jegliche Koeffizienten sind normalerweise reelle Zahlen.

A=(a11a12a13⋯a1na21 a22a23 ⋯a2na31 a32a33⋯a3n⋮ ⋮⋮⋱ ⋮am1am2am3⋯amn)=(aij)1≤i≤m1≤j≤nA=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}&a_{23}&\ \cdots&a_{2n}\\a_{31}&\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\ \vdots&\vdots&\ddots\ &\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right)=(aij)1≤i≤m1≤j≤n A=​a11​a21​a31​⋮am1​​a12​ a22​ a32​ ⋮am2​​a13​a23​a33​⋮am3​​⋯ ⋯⋯⋱ ⋯​a1n​a2n​a3n​⋮amn​​​=(aij)1≤i≤m1≤j≤n​​

aija_{ij}aij​​ markiert das Element in der iii-ten Zeile und der jjj​-ten Spalte.


Beispiel     (3,3)−\left(3,3\right)-(3,3)− Matrix

​A=(618383−1−10)A=\left(\begin{matrix}6&1&8\\3&8&3\\-1&-1&0\\\end{matrix}\right)A=​63−1​18−1​830​​​​

​a11=6,  a21=3, a31=−1, a12=1  usw.a_{11}=6,\ \ a_{21}=3,\ a_{31}=-1,\ a_{12}=1\ \ usw.a11​=6,  a21​=3, a31​=−1, a12​=1  usw.​​


Begriffe

DIMENSION

Die Dimension ddd​ entspricht der Anzahl Zeilen  und Spalten nnn​: d=m×nd=m\times nd=m×n​

QUADRATISCH

Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen: m=nm=nm=n​. (Dimension: n2n^2n2​)

HAUPTDIAGONALE

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix beinhaltet alle Einträge der Diagonalen: aiia_{ii}aii​​. (a11, a22, .. )a_{11},\ a_{22},\ ..\ )a11​, a22​, .. )​

​

Spezielle Matrizen

NULLMATRIX «000​»

Alle Einträge der Matrix sind gleich 0.

0mn0_{mn}0mn​​: m×n−m\times n-m×n−​ Nullmatrix
​(000000)\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)​000​000​​​​

EINHEITSMATRIX «E»

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind 1, alle anderen sind gleich 0.

EnE_nEn​​: n×n−n\times n-n×n−​ Einheitsmatrix
​(100010001)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​100​010​001​​​​

DIAGONALMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0. 
​(−1000400018)\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&18\\\end{matrix}\right)​−100​040​0018​​​​

OBERE DREIECKSMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
​(33207−1001)\left(\begin{matrix}3&3&2\\0&7&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)​300​370​2−11​​​​

UNTERE DREIECKSMATRIX

(nur bei quadratischen Matrizen)

Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0.
​(3001−105−91)\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&-1&0\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)​315​0−1−9​001​​​​


Hinweis: Die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix dürfen auch Null sein.



Transponierte Matrix

Definition

Die transponierte Matrix ATA^TAT​ von AAA​ erhält man, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden.

Die Matrix wird „umgedreht“.
​A=(13−402−5)→AT=(1−4230−5)A=\left(\begin{matrix}1&3\\-4&0\\2&-5\\\end{matrix}\right)\rightarrow A^T=\left(\begin{matrix}1&-4&2\\3&0&-5\\\end{matrix}\right)A=​1−42​30−5​​→AT=(13​−40​2−5​)​​


Eigenschaften

​(AT)T=A\left(A^T\right)^T=A(AT)T=A​​

Wird eine bereits transponierte Matrix erneut transponiert, ergibt dies die ursprüngliche Matrix.

​(A+B)T=AT+BT\left(A+B\right)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT​​

Wird die Summe zweier Matrizen transponiert, entspricht dies der Summe der zwei einzeln transponierten Matrizen. 

​(r⋅A)T=r⋅AT{(r\cdot A)}^T={r\cdot A}^T(r⋅A)T=r⋅AT​​

Wird ein Vielfaches einer Matrix transponiert, entspricht dies dem Vielfachen der transponierten Matrix ( rrr​: reelle Zahl).

​(A⋅B)T=BT⋅AT{(A\cdot B)}^T=B^T\cdot A^T(A⋅B)T=BT⋅AT​​

Wird das Produkt von zwei Matrizen transponiert, ist dies das Produkt der einzeln transponierten Matrizen in umgekehrter Reihenfolge.



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Matrize?

Eine (m,n) - Matrix ist eine "Tabelle" mit "m" Zeilen und "n" Spalten. Die Elemente der Matrix, auch Einträge genannt, sowie jegliche Koeffizienten sind normalerweise reele Zahlen.

Was ist die Dimension einer Matrize?

Die Dimension entspricht der Anzahl Zeilen "m" und Spalten "n": "m x n"

Wann ist eine Matrix quadratisch?

Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen.

Was ist Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix?

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix beinhaltet alle Einträge der Diagonalen.

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