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Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

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Lehrperson: Severina
Lehrperson: Severina

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Zusammenfassung

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lage von zwei Kugeln

«ddd​» ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.


Fälle

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln


Hinweis:

Beachte, dass in den Fällen d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und  d<∣s−r∣d=\left|s-r\right|, \left|s-r\right|<d<r+s \ und\ \ d<\left|s-r\right| d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und  d<∣s−r∣​ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.



Lage von zwei Kugeln bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.


VORGEHEN

1.

Berechne den Abstand ddd​ zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.

2.

Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:

  • d<r+sd<r+s d<r+s oder: Die Kugeln schneiden sich.
  • d=r+s:d=r+s: d=r+s: Die Kugeln berühren sich.
  • d>r+s:d>r+s: d>r+s: Die Kugeln berühren sich nicht.

​

​

Schnittkreis von zwei Kugeln

Radius des Schnittkreises bestimmen.


VORGEHEN

1.

Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E:

Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:

E:   (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2{E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2E:   (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2−((x−xN​)2+(y−yN​)2+(z−zN​)2)=r2−s2​​

Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.

2.

Erstelle die Hilfsgerade g:

Richtungsvektor: n⃗\vec{n}n​ der Schnittebene

Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln

3.

Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.

4.

Berechne den Radius: r′=r2−∣MS⃗∣2r\prime=\sqrt{r^2-\left|\vec{MS}\right|^2}r′=r2−​MS​2​​


Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r′2=r2−(∣MN∣2)2{r^\prime}^2=r^2-\left(\frac{\left|MN\right|}{2}\right)^2r′2=r2−(2∣MN∣​)2
Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln


Berührpunkt von zwei Kugeln

Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.


VORGEHEN

1.

Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E.

Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:

E:   (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2{E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2E:   (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2−((x−xN​)2+(y−yN​)2+(z−zN​)2)=r2−s2​​

Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.

2.

Erstelle die Hilfsgerade g:

  • Richtungsvektor: n⃗\vec{n}n​ der Schnittebene
  • Stützpunkt: Mittelpunkt von einem der zwei Kugeln.

3.

Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln.


Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.


Mehr dazu

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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 1

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

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Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie können zwei Kugeln zueinander liegen?

3 Möglichkeiten: Sie können einen Berührungspunkt, einen Schnittkreis oder keinen Schnittpunkt haben.

Wie bestimme ich die Lage von zwei Kugeln zueinander?

Indem Du den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten berechnest und ihn dann mit der Summe der Radien vergleichst.

Was passiert, wenn der Abstand der Mittelpunkte der Kugeln kleiner ist als die beiden Radien zusammen?

Dann berühren sich die Kugeln nicht.

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