Home

Mathematik

Kreise und Kugeln

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Analysis

Differentialrechnung

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Kurvenscharen und Ortskurve

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Rotationsvolumen: Definition und Formel

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Kreise und Kugeln

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

Kugel und Ebene: Lagebeziehungen und Aufgaben

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

Stochastik

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung

Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

​​Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment

Statistik

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Folgen und Reihen

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Matrizen

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Brüche

Erklärvideo

Lehrperson: Severina
Lehrperson: Severina

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lage von zwei Kugeln

«ddd​» ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.


Fälle

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln


Hinweis:

Beachte, dass in den Fällen d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und  d<∣s−r∣d=\left|s-r\right|, \left|s-r\right|<d<r+s \ und\ \ d<\left|s-r\right| d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und  d<∣s−r∣​ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.



Lage von zwei Kugeln bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.


VORGEHEN

1.

Berechne den Abstand ddd​ zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.

2.

Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:

  • d<r+sd<r+s d<r+s oder: Die Kugeln schneiden sich.
  • d=r+s:d=r+s: d=r+s: Die Kugeln berühren sich.
  • d>r+s:d>r+s: d>r+s: Die Kugeln berühren sich nicht.

​

​

Schnittkreis von zwei Kugeln

Radius des Schnittkreises bestimmen.


VORGEHEN

1.

Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E:

Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:

E:   (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2{E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2E:   (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2−((x−xN​)2+(y−yN​)2+(z−zN​)2)=r2−s2​​

Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.

2.

Erstelle die Hilfsgerade g:

Richtungsvektor: n⃗\vec{n}n​ der Schnittebene

Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln

3.

Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.

4.

Berechne den Radius: r′=r2−∣MS⃗∣2r\prime=\sqrt{r^2-\left|\vec{MS}\right|^2}r′=r2−​MS​2​​


Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r′2=r2−(∣MN∣2)2{r^\prime}^2=r^2-\left(\frac{\left|MN\right|}{2}\right)^2r′2=r2−(2∣MN∣​)2
Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln


Berührpunkt von zwei Kugeln

Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.


VORGEHEN

1.

Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E.

Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:

E:   (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2{E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2E:   (x−xM​)2+(y−yM​)2+(z−zM​)2−((x−xN​)2+(y−yN​)2+(z−zN​)2)=r2−s2​​

Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.

2.

Erstelle die Hilfsgerade g:

  • Richtungsvektor: n⃗\vec{n}n​ der Schnittebene
  • Stützpunkt: Mittelpunkt von einem der zwei Kugeln.

3.

Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln.


Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.


Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Teil 1

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Teil 2

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Abkürzung

Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.

Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Teil 3

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Finaler Test

Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie können zwei Kugeln zueinander liegen?

3 Möglichkeiten: Sie können einen Berührungspunkt, einen Schnittkreis oder keinen Schnittpunkt haben.

Wie bestimme ich die Lage von zwei Kugeln zueinander?

Indem Du den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten berechnest und ihn dann mit der Summe der Radien vergleichst.

Was passiert, wenn der Abstand der Mittelpunkte der Kugeln kleiner ist als die beiden Radien zusammen?

Dann berühren sich die Kugeln nicht.

©2020 - 2025 evulpo AG

Beta