Feedback geben
Kapitelübersicht
Lernziele
Inhalt der Erklärvideos:
Lernziele
Mathematik
Zusammenfassung
«d» ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
Beachte, dass in den Fällen d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und d<∣s−r∣ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.
Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.
1. | Berechne den Abstand d zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln. |
2. | Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:
|
Radius des Schnittkreises bestimmen.
1. | Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E: Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab: E: (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2 Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg. |
2. | Erstelle die Hilfsgerade g: Richtungsvektor: n der Schnittebene Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln |
3. | Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. |
4. | Berechne den Radius: r′=r2−MS2 |
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r′2=r2−(2∣MN∣)2 | ![]() |
Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.
1. | Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E. Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab: E: (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2 Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg. |
2. | Erstelle die Hilfsgerade g:
|
3. | Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln. |
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.
«d» ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
Beachte, dass in den Fällen d=∣s−r∣,∣s−r∣<d<r+s und d<∣s−r∣ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.
Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.
1. | Berechne den Abstand d zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln. |
2. | Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:
|
Radius des Schnittkreises bestimmen.
1. | Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E: Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab: E: (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2 Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg. |
2. | Erstelle die Hilfsgerade g: Richtungsvektor: n der Schnittebene Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln |
3. | Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. |
4. | Berechne den Radius: r′=r2−MS2 |
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r′2=r2−(2∣MN∣)2 | ![]() |
Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.
1. | Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E. Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab: E: (x−xM)2+(y−yM)2+(z−zM)2−((x−xN)2+(y−yN)2+(z−zN)2)=r2−s2 Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg. |
2. | Erstelle die Hilfsgerade g:
|
3. | Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln. |
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.
Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln
FAQs
Frage: Wie können zwei Kugeln zueinander liegen?
Antwort: 3 Möglichkeiten: Sie können einen Berührungspunkt, einen Schnittkreis oder keinen Schnittpunkt haben.
Frage: Wie bestimme ich die Lage von zwei Kugeln zueinander?
Antwort: Indem Du den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten berechnest und ihn dann mit der Summe der Radien vergleichst.
Frage: Was passiert, wenn der Abstand der Mittelpunkte der Kugeln kleiner ist als die beiden Radien zusammen?
Antwort: Dann berühren sich die Kugeln nicht.
Theorie
Übungen
© 2020 – 2023 evulpo AG