Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln Lage von zwei Kugeln «d d d » ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
Fälle
Hinweis: Beachte, dass in den Fällen d = ∣ s − r ∣ , ∣ s − r ∣ < d < r + s u n d d < ∣ s − r ∣ d=\left|s-r\right|, \left|s-r\right|<d<r+s \ und\ \ d<\left|s-r\right| d = ∣ s − r ∣ , ∣ s − r ∣ < d < r + s u n d d < ∣ s − r ∣ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.
Lage von zwei Kugeln bestimmen Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.
VORGEHEN 1.
Berechne den Abstand d d d zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
2.
Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:
d < r + s d<r+s d < r + s : Die Kugeln schneiden sich. d = r + s : d=r+s: d = r + s :
d > r + s : d>r+s: d > r + s :
Schnittkreis von zwei Kugeln Radius des Schnittkreises bestimmen.
VORGEHEN 1.
Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E:
Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:
E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2 {E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2 E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2
Hinweis : Alle quadratischen Terme fallen weg.
2.
Erstelle die Hilfsgerade g:
Richtungsvektor: n ⃗ \vec{n} n der Schnittebene
Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln
3.
Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
4.
Berechne den Radius: r ′ = r 2 − ∣ M S ⃗ ∣ 2 r\prime=\sqrt{r^2-\left|\vec{MS}\right|^2} r ′ = r 2 − MS 2
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r ′ 2 = r 2 − ( ∣ M N ∣ 2 ) 2 {r^\prime}^2=r^2-\left(\frac{\left|MN\right|}{2}\right)^2 r ′ 2 = r 2 − ( 2 ∣ MN ∣ ) 2
Berührpunkt von zwei Kugeln Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.
VORGEHEN 1.
Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E.
Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:
E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2 {E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2 E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2
Hinweis : Alle quadratischen Terme fallen weg.
2.
Erstelle die Hilfsgerade g:
Richtungsvektor: n ⃗ \vec{n} n der SchnittebeneStützpunkt: Mittelpunkt von einem der zwei Kugeln. 3.
Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln.
Hinweis : Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.
Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln Lage von zwei Kugeln «d d d » ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
Fälle
Hinweis: Beachte, dass in den Fällen d = ∣ s − r ∣ , ∣ s − r ∣ < d < r + s u n d d < ∣ s − r ∣ d=\left|s-r\right|, \left|s-r\right|<d<r+s \ und\ \ d<\left|s-r\right| d = ∣ s − r ∣ , ∣ s − r ∣ < d < r + s u n d d < ∣ s − r ∣ der Mittelpunkt der kleineren Kugel innerhalb der grösseren Kugel liegt.
Lage von zwei Kugeln bestimmen Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.
VORGEHEN 1.
Berechne den Abstand d d d zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.
2.
Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:
d < r + s d<r+s d < r + s : Die Kugeln schneiden sich. d = r + s : d=r+s: d = r + s :
d > r + s : d>r+s: d > r + s :
Schnittkreis von zwei Kugeln Radius des Schnittkreises bestimmen.
VORGEHEN 1.
Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E:
Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:
E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2 {E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2 E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2
Hinweis : Alle quadratischen Terme fallen weg.
2.
Erstelle die Hilfsgerade g:
Richtungsvektor: n ⃗ \vec{n} n der Schnittebene
Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln
3.
Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
4.
Berechne den Radius: r ′ = r 2 − ∣ M S ⃗ ∣ 2 r\prime=\sqrt{r^2-\left|\vec{MS}\right|^2} r ′ = r 2 − MS 2
Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: r ′ 2 = r 2 − ( ∣ M N ∣ 2 ) 2 {r^\prime}^2=r^2-\left(\frac{\left|MN\right|}{2}\right)^2 r ′ 2 = r 2 − ( 2 ∣ MN ∣ ) 2
Berührpunkt von zwei Kugeln Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.
VORGEHEN 1.
Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E.
Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:
E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2 {E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2 E : ( x − x M ) 2 + ( y − y M ) 2 + ( z − z M ) 2 − ( ( x − x N ) 2 + ( y − y N ) 2 + ( z − z N ) 2 ) = r 2 − s 2
Hinweis : Alle quadratischen Terme fallen weg.
2.
Erstelle die Hilfsgerade g:
Richtungsvektor: n ⃗ \vec{n} n der SchnittebeneStützpunkt: Mittelpunkt von einem der zwei Kugeln. 3.
Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln.
Hinweis : Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.
