Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lage von zwei Kugeln

« $d$ » ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.

Fälle

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Hinweis:

Lage von zwei Kugeln bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Kugeln bestimmen.

VORGEHEN

1.

Berechne den Abstand $d$ zwischen den beiden Mittelpunkten der Kugeln.

2.

Vergleiche den Abstand mit der Summe der Radien der Kugeln:

$d<r+s$ oder: Die Kugeln schneiden sich.
$d=r+s:$ Die Kugeln berühren sich.
$d>r+s:$ Die Kugeln berühren sich nicht.

Schnittkreis von zwei Kugeln

Radius des Schnittkreises bestimmen.

VORGEHEN

1.	Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E: Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab: ${E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2$ Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.
2.	Erstelle die Hilfsgerade g: Richtungsvektor: $\vec{n}$ der Schnittebene Stützpunkt: Mittelpunkt von einer der zwei Kugeln
3.	Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
4.	Berechne den Radius: $r\prime=\sqrt{r^2-\left\|\vec{MS}\right\|^2}$

Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Mittelpunkt des Schnittkreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln. Den Radius des Schnittkreises kann man dann leicht mit dem Pythagoras berechnen: ${r^\prime}^2=r^2-\left(\frac{\left|MN\right|}{2}\right)^2$

Mathematik; Kreise und Kugeln; 3. Gymi; Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Berührpunkt von zwei Kugeln

Den Punkt bestimmen, bei dem sich beide Kugeln berühren.

VORGEHEN

1.

Berechne die Koordinatenform der Schnittebene E.

Ziehe die Kugelgleichungen beidseitig voneinander ab:

${E:\ \ \ \left(x-x_M\right)}^2+\left(y-y_M\right)^2+{(z-z_M)}^2-{(\left(x-x_N\right)}^2+\left(y-y_N\right)^2+{(z-z_N)}^2)=r^2-s^2$

Hinweis: Alle quadratischen Terme fallen weg.

2.

Erstelle die Hilfsgerade g:

Richtungsvektor: $\vec{n}$ der Schnittebene
Stützpunkt: Mittelpunkt von einem der zwei Kugeln.

3.

Berechne den Schnittpunkt S von g und E. S ist der Berührpunkt der beiden Kugeln.

Hinweis: Haben zwei Kugeln denselben Radius, so liegt der Berührpunkt in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Kugeln.